Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81705 / 17337
↖ ↑ ↗
← N 78.668386°
E 44.409485°		 ← 60.01 m → N 78.668386°
E 44.412232°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.667846°
E 44.409485°		 ← 60.02 m →
3 602 m²		 N 78.667846°
E 44.412232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623363494873047 y=0.132274627685547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623363494873047 × 217)
    floor (0.623363494873047 × 131072)
    floor (81705.5)     		tx = 81705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132274627685547 × 217)
    floor (0.132274627685547 × 131072)
    floor (17337.5)     		ty = 17337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81705 / 17337 ti = "17/81705/17337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81705/17337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81705 ÷ 217
    81705 ÷ 131072     		x = 0.623359680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17337 ÷ 217
    17337 ÷ 131072     		y = 0.132270812988281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623359680175781 × 2 - 1) × π
    0.246719360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77509173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132270812988281 × 2 - 1) × π
    0.735458374023438 × 3.1415926535     		Φ = 2.31051062478709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77509173} λ = 0.77509173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31051062478709))-π/2
    2×atan(10.0795702195727)-π/2
    2×1.47190933995023-π/2
    2.94381867990045-1.57079632675     		φ = 1.37302235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77509173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.409485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37302235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.668386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81705 KachelY 17337 0.77509173 1.37302235 44.409485 78.668386
    Oben rechts KachelX + 1 81706 KachelY 17337 0.77513967 1.37302235 44.412232 78.668386
    Unten links KachelX 81705 KachelY + 1 17338 0.77509173 1.37301293 44.409485 78.667846
    Unten rechts KachelX + 1 81706 KachelY + 1 17338 0.77513967 1.37301293 44.412232 78.667846
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37302235-1.37301293) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37302235-1.37301293) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77509173-0.77513967) × cos(1.37302235) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.19648718943111 × 6371000     		do = 60.0122452324775m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77509173-0.77513967) × cos(1.37301293) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196496425792603 × 6371000     		du = 60.0150662550214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37302235)-sin(1.37301293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.19648718943111-0.196496425792603)×R²
    abs(0.77513967-0.77509173)×9.23636149302576e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23636149302576e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23636149302576e-06×40589641000000     		ar = 3601.70874716439m²