Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81705 / 17128
↖ ↑ ↗
← N 78.780624°
E 44.409485°		 ← 59.43 m → N 78.780624°
E 44.412232°		 →
↑
59.38 m
↓
↑
59.38 m
↓
N 78.780090°
E 44.409485°		 ← 59.43 m →
3 529 m²		 N 78.780090°
E 44.412232°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81705 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623363494873047 y=0.130680084228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623363494873047 × 217)
    floor (0.623363494873047 × 131072)
    floor (81705.5)     		tx = 81705
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130680084228516 × 217)
    floor (0.130680084228516 × 131072)
    floor (17128.5)     		ty = 17128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81705 / 17128 ti = "17/81705/17128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81705/17128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81705 ÷ 217
    81705 ÷ 131072     		x = 0.623359680175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17128 ÷ 217
    17128 ÷ 131072     		y = 0.13067626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623359680175781 × 2 - 1) × π
    0.246719360351562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77509173
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13067626953125 × 2 - 1) × π
    0.7386474609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32052943680768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77509173} λ = 0.77509173}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32052943680768))-π/2
    2×atan(10.1810631089833)-π/2
    2×1.47288880464473-π/2
    2.94577760928946-1.57079632675     		φ = 1.37498128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77509173} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.409485°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37498128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.780624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81705 KachelY 17128 0.77509173 1.37498128 44.409485 78.780624
    Oben rechts KachelX + 1 81706 KachelY 17128 0.77513967 1.37498128 44.412232 78.780624
    Unten links KachelX 81705 KachelY + 1 17129 0.77509173 1.37497196 44.409485 78.780090
    Unten rechts KachelX + 1 81706 KachelY + 1 17129 0.77513967 1.37497196 44.412232 78.780090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37498128-1.37497196) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dl = 59.3777199998684m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37498128-1.37497196) × R
    9.31999999997934e-06 × 6371000     		dr = 59.3777199998684m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77509173-0.77513967) × cos(1.37498128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194566070272925 × 6371000     		do = 59.4254859919612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77509173-0.77513967) × cos(1.37497196) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194575212153822 × 6371000     		du = 59.428278157699m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37498128)-sin(1.37497196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194566070272925-0.194575212153822)×R²
    abs(0.77513967-0.77509173)×9.14188089662371e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.14188089662371e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.14188089662371e-06×40589641000000     		ar = 3528.63276434808m²