Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81704 / 17335
↖ ↑ ↗
← N 78.669465°
E 44.406738°		 ← 60.01 m → N 78.669465°
E 44.409485°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.668926°
E 44.406738°		 ← 60.01 m →
3 601 m²		 N 78.668926°
E 44.409485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81704 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623355865478516 y=0.132259368896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623355865478516 × 217)
    floor (0.623355865478516 × 131072)
    floor (81704.5)     		tx = 81704
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132259368896484 × 217)
    floor (0.132259368896484 × 131072)
    floor (17335.5)     		ty = 17335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81704 / 17335 ti = "17/81704/17335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81704/17335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81704 ÷ 217
    81704 ÷ 131072     		x = 0.62335205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17335 ÷ 217
    17335 ÷ 131072     		y = 0.132255554199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62335205078125 × 2 - 1) × π
    0.2467041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77504379
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132255554199219 × 2 - 1) × π
    0.735488891601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.31060649858633
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77504379} λ = 0.77504379}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31060649858633))-π/2
    2×atan(10.0805366325904)-π/2
    2×1.47191875849405-π/2
    2.94383751698811-1.57079632675     		φ = 1.37304119
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77504379} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.406738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37304119 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.669465°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81704 KachelY 17335 0.77504379 1.37304119 44.406738 78.669465
    Oben rechts KachelX + 1 81705 KachelY 17335 0.77509173 1.37304119 44.409485 78.669465
    Unten links KachelX 81704 KachelY + 1 17336 0.77504379 1.37303177 44.406738 78.668926
    Unten rechts KachelX + 1 81705 KachelY + 1 17336 0.77509173 1.37303177 44.409485 78.668926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37304119-1.37303177) × R
    9.41999999981569e-06 × 6371000     		dl = 60.0148199988257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37304119-1.37303177) × R
    9.41999999981569e-06 × 6371000     		dr = 60.0148199988257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77504379-0.77509173) × cos(1.37304119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196468716655818 × 6371000     		do = 60.0066031714142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77504379-0.77509173) × cos(1.37303177) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196477953052181 × 6371000     		du = 60.0094242046083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37304119)-sin(1.37303177))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196468716655818-0.196477953052181)×R²
    abs(0.77509173-0.77504379)×9.2363963631048e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.2363963631048e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.2363963631048e-06×40589641000000     		ar = 3601.37014002719m²