Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81703 / 17361
↖ ↑ ↗
← N 78.655427°
E 44.403992°		 ← 60.07 m → N 78.655427°
E 44.406738°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.654886°
E 44.403992°		 ← 60.07 m →
3 609 m²		 N 78.654886°
E 44.406738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81703 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623348236083984 y=0.132457733154297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623348236083984 × 217)
    floor (0.623348236083984 × 131072)
    floor (81703.5)     		tx = 81703
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132457733154297 × 217)
    floor (0.132457733154297 × 131072)
    floor (17361.5)     		ty = 17361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81703 / 17361 ti = "17/81703/17361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81703/17361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81703 ÷ 217
    81703 ÷ 131072     		x = 0.623344421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17361 ÷ 217
    17361 ÷ 131072     		y = 0.132453918457031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623344421386719 × 2 - 1) × π
    0.246688842773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77499586
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132453918457031 × 2 - 1) × π
    0.735092163085938 × 3.1415926535     		Φ = 2.30936013919621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77499586} λ = 0.77499586}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30936013919621))-π/2
    2×atan(10.067980487461)-π/2
    2×1.47179624833784-π/2
    2.94359249667568-1.57079632675     		φ = 1.37279617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77499586} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.403992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37279617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.655427°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81703 KachelY 17361 0.77499586 1.37279617 44.403992 78.655427
    Oben rechts KachelX + 1 81704 KachelY 17361 0.77504379 1.37279617 44.406738 78.655427
    Unten links KachelX 81703 KachelY + 1 17362 0.77499586 1.37278674 44.403992 78.654886
    Unten rechts KachelX + 1 81704 KachelY + 1 17362 0.77504379 1.37278674 44.406738 78.654886
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37279617-1.37278674) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dl = 60.0785299998532m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37279617-1.37278674) × R
    9.42999999997696e-06 × 6371000     		dr = 60.0785299998532m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77499586-0.77504379) × cos(1.37279617) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196708955339033 × 6371000     		do = 60.0674459215434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77499586-0.77504379) × cos(1.37278674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196718201086242 × 6371000     		du = 60.0702692216799m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37279617)-sin(1.37278674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196708955339033-0.196718201086242)×R²
    abs(0.77504379-0.77499586)×9.24574720889693e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.24574720889693e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.24574720889693e-06×40589641000000     		ar = 3608.84866156285m²