Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81701 / 20378
↖ ↑ ↗
← N 76.904444°
E 44.398498°		 ← 69.20 m → N 76.904444°
E 44.401245°		 →
↑
69.25 m
↓
↑
69.25 m
↓
N 76.903821°
E 44.398498°		 ← 69.21 m →
4 793 m²		 N 76.903821°
E 44.401245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81701 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20378 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623332977294922 y=0.155475616455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623332977294922 × 217)
    floor (0.623332977294922 × 131072)
    floor (81701.5)     		tx = 81701
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155475616455078 × 217)
    floor (0.155475616455078 × 131072)
    floor (20378.5)     		ty = 20378
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81701 / 20378 ti = "17/81701/20378"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81701/20378.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81701 ÷ 217
    81701 ÷ 131072     		x = 0.623329162597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20378 ÷ 217
    20378 ÷ 131072     		y = 0.155471801757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623329162597656 × 2 - 1) × π
    0.246658325195312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77489998
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155471801757812 × 2 - 1) × π
    0.689056396484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1647345130425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77489998} λ = 0.77489998}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1647345130425))-π/2
    2×atan(8.71228861079236)-π/2
    2×1.45651603591267-π/2
    2.91303207182534-1.57079632675     		φ = 1.34223575
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77489998} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.398498°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34223575 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.904444°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81701 KachelY 20378 0.77489998 1.34223575 44.398498 76.904444
    Oben rechts KachelX + 1 81702 KachelY 20378 0.77494792 1.34223575 44.401245 76.904444
    Unten links KachelX 81701 KachelY + 1 20379 0.77489998 1.34222488 44.398498 76.903821
    Unten rechts KachelX + 1 81702 KachelY + 1 20379 0.77494792 1.34222488 44.401245 76.903821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34223575-1.34222488) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dl = 69.2527699992682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34223575-1.34222488) × R
    1.08699999998851e-05 × 6371000     		dr = 69.2527699992682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77489998-0.77494792) × cos(1.34223575) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226575769838426 × 6371000     		do = 69.2020721689256m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77489998-0.77494792) × cos(1.34222488) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226586357134845 × 6371000     		du = 69.205305801769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34223575)-sin(1.34222488))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226575769838426-0.226586357134845)×R²
    abs(0.77494792-0.77489998)×1.05872964191733e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05872964191733e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05872964191733e-05×40589641000000     		ar = 4792.54715651322m²