Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81700 / 17354
↖ ↑ ↗
← N 78.659208°
E 44.395752°		 ← 60.05 m → N 78.659208°
E 44.398498°		 →
↑
60.08 m
↓
↑
60.08 m
↓
N 78.658668°
E 44.395752°		 ← 60.05 m →
3 608 m²		 N 78.658668°
E 44.398498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81700 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17354 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623325347900391 y=0.132404327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623325347900391 × 217)
    floor (0.623325347900391 × 131072)
    floor (81700.5)     		tx = 81700
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132404327392578 × 217)
    floor (0.132404327392578 × 131072)
    floor (17354.5)     		ty = 17354
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81700 / 17354 ti = "17/81700/17354"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81700/17354.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81700 ÷ 217
    81700 ÷ 131072     		x = 0.623321533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17354 ÷ 217
    17354 ÷ 131072     		y = 0.132400512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623321533203125 × 2 - 1) × π
    0.24664306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77485205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132400512695312 × 2 - 1) × π
    0.735198974609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.30969569749355
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77485205} λ = 0.77485205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.30969569749355))-π/2
    2×atan(10.0713594487386)-π/2
    2×1.47182924657036-π/2
    2.94365849314071-1.57079632675     		φ = 1.37286217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77485205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.395752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37286217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.659208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81700 KachelY 17354 0.77485205 1.37286217 44.395752 78.659208
    Oben rechts KachelX + 1 81701 KachelY 17354 0.77489998 1.37286217 44.398498 78.659208
    Unten links KachelX 81700 KachelY + 1 17355 0.77485205 1.37285274 44.395752 78.658668
    Unten rechts KachelX + 1 81701 KachelY + 1 17355 0.77489998 1.37285274 44.398498 78.658668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37286217-1.37285274) × R
    9.430000000199e-06 × 6371000     		dl = 60.0785300012678m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37286217-1.37285274) × R
    9.430000000199e-06 × 6371000     		dr = 60.0785300012678m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77485205-0.77489998) × cos(1.37286217) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.196644244423581 × 6371000     		do = 60.0476856650376m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77485205-0.77489998) × cos(1.37285274) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.1966534902932 × 6371000     		du = 60.0505090025537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37286217)-sin(1.37285274))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196644244423581-0.1966534902932)×R²
    abs(0.77489998-0.77485205)×9.24586961958962e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.24586961958962e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.24586961958962e-06×40589641000000     		ar = 3607.66149581473m²