Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81699 / 17334
↖ ↑ ↗
← N 78.670005°
E 44.393005°		 ← 60 m → N 78.670005°
E 44.395752°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.669465°
E 44.393005°		 ← 60.01 m →
3 601 m²		 N 78.669465°
E 44.395752°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81699 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623317718505859 y=0.132251739501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623317718505859 × 217)
    floor (0.623317718505859 × 131072)
    floor (81699.5)     		tx = 81699
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132251739501953 × 217)
    floor (0.132251739501953 × 131072)
    floor (17334.5)     		ty = 17334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81699 / 17334 ti = "17/81699/17334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81699/17334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81699 ÷ 217
    81699 ÷ 131072     		x = 0.623313903808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17334 ÷ 217
    17334 ÷ 131072     		y = 0.132247924804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623313903808594 × 2 - 1) × π
    0.246627807617188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77480411
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132247924804688 × 2 - 1) × π
    0.735504150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31065443548595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77480411} λ = 0.77480411}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31065443548595))-π/2
    2×atan(10.0810198738456)-π/2
    2×1.47192346743396-π/2
    2.94384693486791-1.57079632675     		φ = 1.37305061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77480411} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.393005°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37305061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.670005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81699 KachelY 17334 0.77480411 1.37305061 44.393005 78.670005
    Oben rechts KachelX + 1 81700 KachelY 17334 0.77485205 1.37305061 44.395752 78.670005
    Unten links KachelX 81699 KachelY + 1 17335 0.77480411 1.37304119 44.393005 78.669465
    Unten rechts KachelX + 1 81700 KachelY + 1 17335 0.77485205 1.37304119 44.395752 78.669465
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37305061-1.37304119) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37305061-1.37304119) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77480411-0.77485205) × cos(1.37305061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196459480242021 × 6371000     		do = 60.0037821328952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77480411-0.77485205) × cos(1.37304119) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196468716655818 × 6371000     		du = 60.0066031714142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37305061)-sin(1.37304119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196459480242021-0.196468716655818)×R²
    abs(0.77485205-0.77480411)×9.23641379724227e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23641379724227e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23641379724227e-06×40589641000000     		ar = 3601.20083624256m²