Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81698 / 17250
↖ ↑ ↗
← N 78.715241°
E 44.390259°		 ← 59.77 m → N 78.715241°
E 44.393005°		 →
↑
59.76 m
↓
↑
59.76 m
↓
N 78.714704°
E 44.390259°		 ← 59.77 m →
3 572 m²		 N 78.714704°
E 44.393005°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623310089111328 y=0.131610870361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623310089111328 × 217)
    floor (0.623310089111328 × 131072)
    floor (81698.5)     		tx = 81698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.131610870361328 × 217)
    floor (0.131610870361328 × 131072)
    floor (17250.5)     		ty = 17250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81698 / 17250 ti = "17/81698/17250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81698/17250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81698 ÷ 217
    81698 ÷ 131072     		x = 0.623306274414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17250 ÷ 217
    17250 ÷ 131072     		y = 0.131607055664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623306274414062 × 2 - 1) × π
    0.246612548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77475617
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.131607055664062 × 2 - 1) × π
    0.736785888671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.31468113505403
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77475617} λ = 0.77475617}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31468113505403))-π/2
    2×atan(10.1216949504142)-π/2
    2×1.47231822923134-π/2
    2.94463645846267-1.57079632675     		φ = 1.37384013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77475617} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.390259°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37384013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.715241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81698 KachelY 17250 0.77475617 1.37384013 44.390259 78.715241
    Oben rechts KachelX + 1 81699 KachelY 17250 0.77480411 1.37384013 44.393005 78.715241
    Unten links KachelX 81698 KachelY + 1 17251 0.77475617 1.37383075 44.390259 78.714704
    Unten rechts KachelX + 1 81699 KachelY + 1 17251 0.77480411 1.37383075 44.393005 78.714704
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37384013-1.37383075) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dl = 59.7599800003745m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37384013-1.37383075) × R
    9.38000000005879e-06 × 6371000     		dr = 59.7599800003745m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77475617-0.77480411) × cos(1.37384013) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195685285301597 × 6371000     		do = 59.7673230704505m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77475617-0.77480411) × cos(1.37383075) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.195694483947077 × 6371000     		du = 59.7701325735533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37384013)-sin(1.37383075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.195685285301597-0.195694483947077)×R²
    abs(0.77480411-0.77475617)×9.19864548029614e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.19864548029614e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.19864548029614e-06×40589641000000     		ar = 3571.77797925562m²