Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81695 / 20335
↖ ↑ ↗
← N 76.931176°
E 44.382019°		 ← 69.06 m → N 76.931176°
E 44.384766°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.930554°
E 44.382019°		 ← 69.07 m →
4 770 m²		 N 76.930554°
E 44.384766°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81695 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20335 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623287200927734 y=0.155147552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623287200927734 × 217)
    floor (0.623287200927734 × 131072)
    floor (81695.5)     		tx = 81695
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155147552490234 × 217)
    floor (0.155147552490234 × 131072)
    floor (20335.5)     		ty = 20335
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81695 / 20335 ti = "17/81695/20335"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81695/20335.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81695 ÷ 217
    81695 ÷ 131072     		x = 0.623283386230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20335 ÷ 217
    20335 ÷ 131072     		y = 0.155143737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623283386230469 × 2 - 1) × π
    0.246566772460938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77461236
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155143737792969 × 2 - 1) × π
    0.689712524414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.16679579972616
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77461236} λ = 0.77461236}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16679579972616))-π/2
    2×atan(8.7302656568476)-π/2
    2×1.45674932045907-π/2
    2.91349864091815-1.57079632675     		φ = 1.34270231
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77461236} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.382019°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34270231 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.931176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81695 KachelY 20335 0.77461236 1.34270231 44.382019 76.931176
    Oben rechts KachelX + 1 81696 KachelY 20335 0.77466030 1.34270231 44.384766 76.931176
    Unten links KachelX 81695 KachelY + 1 20336 0.77461236 1.34269147 44.382019 76.930554
    Unten rechts KachelX + 1 81696 KachelY + 1 20336 0.77466030 1.34269147 44.384766 76.930554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34270231-1.34269147) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dl = 69.0616399990152m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34270231-1.34269147) × R
    1.08399999998454e-05 × 6371000     		dr = 69.0616399990152m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77461236-0.77466030) × cos(1.34270231) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226121318767492 × 6371000     		do = 69.0632711142917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77461236-0.77466030) × cos(1.34269147) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226131877988965 × 6371000     		du = 69.0664961723241m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34270231)-sin(1.34269147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226121318767492-0.226131877988965)×R²
    abs(0.77466030-0.77461236)×1.05592214734995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05592214734995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05592214734995e-05×40589641000000     		ar = 4769.7341306557m²