Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81694 / 20331
↖ ↑ ↗
← N 76.933660°
E 44.379272°		 ← 69.05 m → N 76.933660°
E 44.382019°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.933039°
E 44.379272°		 ← 69.05 m →
4 769 m²		 N 76.933039°
E 44.382019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20331 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623279571533203 y=0.155117034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623279571533203 × 217)
    floor (0.623279571533203 × 131072)
    floor (81694.5)     		tx = 81694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155117034912109 × 217)
    floor (0.155117034912109 × 131072)
    floor (20331.5)     		ty = 20331
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81694 / 20331 ti = "17/81694/20331"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81694/20331.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81694 ÷ 217
    81694 ÷ 131072     		x = 0.623275756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20331 ÷ 217
    20331 ÷ 131072     		y = 0.155113220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623275756835938 × 2 - 1) × π
    0.246551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77456442
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155113220214844 × 2 - 1) × π
    0.689773559570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.16698754732464
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77456442} λ = 0.77456442}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16698754732464))-π/2
    2×atan(8.73193982482511)-π/2
    2×1.4567709975441-π/2
    2.91354199508821-1.57079632675     		φ = 1.34274567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77456442} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.379272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34274567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.933660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81694 KachelY 20331 0.77456442 1.34274567 44.379272 76.933660
    Oben rechts KachelX + 1 81695 KachelY 20331 0.77461236 1.34274567 44.382019 76.933660
    Unten links KachelX 81694 KachelY + 1 20332 0.77456442 1.34273483 44.379272 76.933039
    Unten rechts KachelX + 1 81695 KachelY + 1 20332 0.77461236 1.34273483 44.382019 76.933039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34274567-1.34273483) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34274567-1.34273483) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77456442-0.77461236) × cos(1.34274567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226079081615904 × 6371000     		do = 69.0503708010126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77456442-0.77461236) × cos(1.34273483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226089640943653 × 6371000     		du = 69.0535958915041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34274567)-sin(1.34273483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226079081615904-0.226089640943653)×R²
    abs(0.77461236-0.77456442)×1.05593277483773e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05593277483773e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05593277483773e-05×40589641000000     		ar = 4768.84321531002m²