Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81692 / 20337
↖ ↑ ↗
← N 76.929933°
E 44.373779°		 ← 69.07 m → N 76.929933°
E 44.376526°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.929312°
E 44.373779°		 ← 69.07 m →
4 770 m²		 N 76.929312°
E 44.376526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81692 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623264312744141 y=0.155162811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623264312744141 × 217)
    floor (0.623264312744141 × 131072)
    floor (81692.5)     		tx = 81692
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155162811279297 × 217)
    floor (0.155162811279297 × 131072)
    floor (20337.5)     		ty = 20337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81692 / 20337 ti = "17/81692/20337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81692/20337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81692 ÷ 217
    81692 ÷ 131072     		x = 0.623260498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20337 ÷ 217
    20337 ÷ 131072     		y = 0.155158996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623260498046875 × 2 - 1) × π
    0.24652099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77446855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155158996582031 × 2 - 1) × π
    0.689682006835938 × 3.1415926535     		Φ = 2.16669992592692
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77446855} λ = 0.77446855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16669992592692))-π/2
    2×atan(8.72942869323279)-π/2
    2×1.45673848039814-π/2
    2.91347696079627-1.57079632675     		φ = 1.34268063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77446855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.373779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34268063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.929933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81692 KachelY 20337 0.77446855 1.34268063 44.373779 76.929933
    Oben rechts KachelX + 1 81693 KachelY 20337 0.77451649 1.34268063 44.376526 76.929933
    Unten links KachelX 81692 KachelY + 1 20338 0.77446855 1.34266979 44.373779 76.929312
    Unten rechts KachelX + 1 81693 KachelY + 1 20338 0.77451649 1.34266979 44.376526 76.929312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34268063-1.34266979) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34268063-1.34266979) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77446855-0.77451649) × cos(1.34268063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226142437183867 × 6371000     		do = 69.0697212222408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77446855-0.77451649) × cos(1.34266979) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226152996352196 × 6371000     		du = 69.0729462640415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34268063)-sin(1.34266979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226142437183867-0.226152996352196)×R²
    abs(0.77451649-0.77446855)×1.05591683289274e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05591683289274e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05591683289274e-05×40589641000000     		ar = 4770.17958530405m²