Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81688 / 17119
N 78.785433°
E 44.362793°
← 59.40 m → N 78.785433°
E 44.365540°

59.44 m

59.44 m
N 78.784899°
E 44.362793°
← 59.40 m →
3 531 m²
N 78.784899°
E 44.365540°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623233795166016 y=0.130611419677734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623233795166016 × 217)
    floor (0.623233795166016 × 131072)
    floor (81688.5)
    tx = 81688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130611419677734 × 217)
    floor (0.130611419677734 × 131072)
    floor (17119.5)
    ty = 17119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81688 / 17119 ti = "17/81688/17119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81688/17119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81688 ÷ 217
    81688 ÷ 131072
    x = 0.62322998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17119 ÷ 217
    17119 ÷ 131072
    y = 0.130607604980469
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.62322998046875 × 2 - 1) × π
    0.2464599609375 × 3.1415926535
    Λ = 0.77427680
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.130607604980469 × 2 - 1) × π
    0.738784790039062 × 3.1415926535
    Φ = 2.32096086890426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77427680} λ = 0.77427680}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32096086890426))-π/2
    2×atan(10.1854564940414)-π/2
    2×1.47293076678842-π/2
    2.94586153357684-1.57079632675
    φ = 1.37506521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77427680} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.362793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37506521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.785433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81688 KachelY 17119 0.77427680 1.37506521 44.362793 78.785433
    Oben rechts KachelX + 1 81689 KachelY 17119 0.77432474 1.37506521 44.365540 78.785433
    Unten links KachelX 81688 KachelY + 1 17120 0.77427680 1.37505588 44.362793 78.784899
    Unten rechts KachelX + 1 81689 KachelY + 1 17120 0.77432474 1.37505588 44.365540 78.784899
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.37506521-1.37505588) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000
    dl = 59.4414300008959m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.37506521-1.37505588) × R
    9.33000000014061e-06 × 6371000
    dr = 59.4414300008959m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.77427680-0.77432474) × cos(1.37506521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194483743539142 × 6371000
    do = 59.4003412883738m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.77427680-0.77432474) × cos(1.37505588) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194492895381245 × 6371000
    du = 59.4031364965202m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.37506521)-sin(1.37505588))×
    abs(λ12)×abs(0.194483743539142-0.194492895381245)×
    abs(0.77432474-0.77427680)×9.15184210240061e-06×
    4.79399999999686e-05×9.15184210240061e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.15184210240061e-06×40589641000000
    ar = 3530.92430444996m²