Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81687 / 17048
↖ ↑ ↗
← N 78.823295°
E 44.360047°		 ← 59.19 m → N 78.823295°
E 44.362793°		 →
↑
59.19 m
↓
↑
59.19 m
↓
N 78.822763°
E 44.360047°		 ← 59.19 m →
3 503 m²		 N 78.822763°
E 44.362793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17048 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623226165771484 y=0.130069732666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623226165771484 × 217)
    floor (0.623226165771484 × 131072)
    floor (81687.5)     		tx = 81687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130069732666016 × 217)
    floor (0.130069732666016 × 131072)
    floor (17048.5)     		ty = 17048
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81687 / 17048 ti = "17/81687/17048"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81687/17048.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81687 ÷ 217
    81687 ÷ 131072     		x = 0.623222351074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17048 ÷ 217
    17048 ÷ 131072     		y = 0.13006591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623222351074219 × 2 - 1) × π
    0.246444702148438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77422887
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.13006591796875 × 2 - 1) × π
    0.7398681640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.32436438877728
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77422887} λ = 0.77422887}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32436438877728))-π/2
    2×atan(10.2201819585174)-π/2
    2×1.47326117955901-π/2
    2.94652235911803-1.57079632675     		φ = 1.37572603
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77422887} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.360047°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37572603 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.823295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81687 KachelY 17048 0.77422887 1.37572603 44.360047 78.823295
    Oben rechts KachelX + 1 81688 KachelY 17048 0.77427680 1.37572603 44.362793 78.823295
    Unten links KachelX 81687 KachelY + 1 17049 0.77422887 1.37571674 44.360047 78.822763
    Unten rechts KachelX + 1 81688 KachelY + 1 17049 0.77427680 1.37571674 44.362793 78.822763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37572603-1.37571674) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dl = 59.1865899996154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37572603-1.37571674) × R
    9.28999999993962e-06 × 6371000     		dr = 59.1865899996154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77422887-0.77427680) × cos(1.37572603) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193835498990413 × 6371000     		do = 59.1900014578117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77422887-0.77427680) × cos(1.37571674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.193844612788335 × 6371000     		du = 59.1927844656463m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37572603)-sin(1.37571674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193835498990413-0.193844612788335)×R²
    abs(0.77427680-0.77422887)×9.1137979223721e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.1137979223721e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.1137979223721e-06×40589641000000     		ar = 3503.33670664118m²