Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81686 / 20374
↖ ↑ ↗
← N 76.906933°
E 44.357300°		 ← 69.19 m → N 76.906933°
E 44.360047°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.906310°
E 44.357300°		 ← 69.19 m →
4 787 m²		 N 76.906310°
E 44.360047°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81686 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623218536376953 y=0.155445098876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623218536376953 × 217)
    floor (0.623218536376953 × 131072)
    floor (81686.5)     		tx = 81686
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155445098876953 × 217)
    floor (0.155445098876953 × 131072)
    floor (20374.5)     		ty = 20374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81686 / 20374 ti = "17/81686/20374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81686/20374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81686 ÷ 217
    81686 ÷ 131072     		x = 0.623214721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20374 ÷ 217
    20374 ÷ 131072     		y = 0.155441284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623214721679688 × 2 - 1) × π
    0.246429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77418093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155441284179688 × 2 - 1) × π
    0.689117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16492626064098
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77418093} λ = 0.77418093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16492626064098))-π/2
    2×atan(8.71395933138395)-π/2
    2×1.45653775656465-π/2
    2.9130755131293-1.57079632675     		φ = 1.34227919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77418093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.357300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34227919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.906933°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81686 KachelY 20374 0.77418093 1.34227919 44.357300 76.906933
    Oben rechts KachelX + 1 81687 KachelY 20374 0.77422887 1.34227919 44.360047 76.906933
    Unten links KachelX 81686 KachelY + 1 20375 0.77418093 1.34226833 44.357300 76.906310
    Unten rechts KachelX + 1 81687 KachelY + 1 20375 0.77422887 1.34226833 44.360047 76.906310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34227919-1.34226833) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dl = 69.1890599996554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34227919-1.34226833) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dr = 69.1890599996554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77418093-0.77422887) × cos(1.34227919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226533459345182 × 6371000     		do = 69.1891494552168m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77418093-0.77422887) × cos(1.34226833) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226544037008572 × 6371000     		du = 69.1923801458851m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34227919)-sin(1.34226833))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226533459345182-0.226544037008572)×R²
    abs(0.77422887-0.77418093)×1.05776633899934e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05776633899934e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05776633899934e-05×40589641000000     		ar = 4787.24397742323m²