Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81684 / 20380
↖ ↑ ↗
← N 76.903199°
E 44.351807°		 ← 69.19 m → N 76.903199°
E 44.354553°		 →
↑
69.19 m
↓
↑
69.19 m
↓
N 76.902576°
E 44.351807°		 ← 69.20 m →
4 788 m²		 N 76.902576°
E 44.354553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20380 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623203277587891 y=0.155490875244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623203277587891 × 217)
    floor (0.623203277587891 × 131072)
    floor (81684.5)     		tx = 81684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155490875244141 × 217)
    floor (0.155490875244141 × 131072)
    floor (20380.5)     		ty = 20380
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81684 / 20380 ti = "17/81684/20380"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81684/20380.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81684 ÷ 217
    81684 ÷ 131072     		x = 0.623199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20380 ÷ 217
    20380 ÷ 131072     		y = 0.155487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155487060546875 × 2 - 1) × π
    0.68902587890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16463863924326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77408506} λ = 0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16463863924326))-π/2
    2×atan(8.71145337062263)-π/2
    2×1.45650517406537-π/2
    2.91301034813073-1.57079632675     		φ = 1.34221402
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34221402 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.903199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81684 KachelY 20380 0.77408506 1.34221402 44.351807 76.903199
    Oben rechts KachelX + 1 81685 KachelY 20380 0.77413299 1.34221402 44.354553 76.903199
    Unten links KachelX 81684 KachelY + 1 20381 0.77408506 1.34220316 44.351807 76.902576
    Unten rechts KachelX + 1 81685 KachelY + 1 20381 0.77413299 1.34220316 44.354553 76.902576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34221402-1.34220316) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dl = 69.1890599996554m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34221402-1.34220316) × R
    1.08599999999459e-05 × 6371000     		dr = 69.1890599996554m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77408506-0.77413299) × cos(1.34221402) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226596934664606 × 6371000     		do = 69.1940999610037m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77408506-0.77413299) × cos(1.34220316) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226607512167641 × 6371000     		du = 69.197329928803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34221402)-sin(1.34220316))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226596934664606-0.226607512167641)×R²
    abs(0.77413299-0.77408506)×1.05775030355693e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05775030355693e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05775030355693e-05×40589641000000     		ar = 4787.58647312256m²