Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81684 / 20364
↖ ↑ ↗
← N 76.913153°
E 44.351807°		 ← 69.14 m → N 76.913153°
E 44.354553°		 →
↑
69.13 m
↓
↑
69.13 m
↓
N 76.912531°
E 44.351807°		 ← 69.15 m →
4 780 m²		 N 76.912531°
E 44.354553°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81684 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623203277587891 y=0.155368804931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623203277587891 × 217)
    floor (0.623203277587891 × 131072)
    floor (81684.5)     		tx = 81684
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155368804931641 × 217)
    floor (0.155368804931641 × 131072)
    floor (20364.5)     		ty = 20364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81684 / 20364 ti = "17/81684/20364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81684/20364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81684 ÷ 217
    81684 ÷ 131072     		x = 0.623199462890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20364 ÷ 217
    20364 ÷ 131072     		y = 0.155364990234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623199462890625 × 2 - 1) × π
    0.24639892578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77408506
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155364990234375 × 2 - 1) × π
    0.68927001953125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16540562963718
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77408506} λ = 0.77408506}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16540562963718))-π/2
    2×atan(8.71813753469212)-π/2
    2×1.45659204045015-π/2
    2.91318408090031-1.57079632675     		φ = 1.34238775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77408506} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.351807°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34238775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.913153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81684 KachelY 20364 0.77408506 1.34238775 44.351807 76.913153
    Oben rechts KachelX + 1 81685 KachelY 20364 0.77413299 1.34238775 44.354553 76.913153
    Unten links KachelX 81684 KachelY + 1 20365 0.77408506 1.34237690 44.351807 76.912531
    Unten rechts KachelX + 1 81685 KachelY + 1 20365 0.77413299 1.34237690 44.354553 76.912531
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34238775-1.34237690) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dl = 69.1253500000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34238775-1.34237690) × R
    1.08500000000067e-05 × 6371000     		dr = 69.1253500000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77408506-0.77413299) × cos(1.34238775) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.226427720203157 × 6371000     		do = 69.1424282895503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77408506-0.77413299) × cos(1.34237690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.22643828839331 × 6371000     		du = 69.1456554135489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34238775)-sin(1.34237690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226427720203157-0.22643828839331)×R²
    abs(0.77413299-0.77408506)×1.05681901530763e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.05681901530763e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.05681901530763e-05×40589641000000     		ar = 4779.60609338847m²