Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81683 / 114977
↖ ↑ ↗
← S 79.319451°
E 44.349060°		 ← 56.61 m → S 79.319451°
E 44.351807°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.319960°
E 44.349060°		 ← 56.60 m →
3 202 m²		 S 79.319960°
E 44.351807°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114977 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623195648193359 y=0.877208709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623195648193359 × 217)
    floor (0.623195648193359 × 131072)
    floor (81683.5)     		tx = 81683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877208709716797 × 217)
    floor (0.877208709716797 × 131072)
    floor (114977.5)     		ty = 114977
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81683 / 114977 ti = "17/81683/114977"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81683/114977.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81683 ÷ 217
    81683 ÷ 131072     		x = 0.623191833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114977 ÷ 217
    114977 ÷ 131072     		y = 0.877204895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623191833496094 × 2 - 1) × π
    0.246383666992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77403712
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877204895019531 × 2 - 1) × π
    -0.754409790039062 × 3.1415926535     		Φ = -2.3700482541152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77403712} λ = 0.77403712}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3700482541152))-π/2
    2×atan(0.0934762155571553)-π/2
    2×0.0932053751604905-π/2
    0.186410750320981-1.57079632675     		φ = -1.38438558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77403712} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.349060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38438558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.319451°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81683 KachelY 114977 0.77403712 -1.38438558 44.349060 -79.319451
    Oben rechts KachelX + 1 81684 KachelY 114977 0.77408506 -1.38438558 44.351807 -79.319451
    Unten links KachelX 81683 KachelY + 1 114978 0.77403712 -1.38439446 44.349060 -79.319960
    Unten rechts KachelX + 1 81684 KachelY + 1 114978 0.77408506 -1.38439446 44.351807 -79.319960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38438558--1.38439446) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38438558--1.38439446) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77403712-0.77408506) × cos(-1.38438558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185333024187479 × 6371000     		do = 56.6054760588617m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77403712-0.77408506) × cos(-1.38439446) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185324298019329 × 6371000     		du = 56.6028108624971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38438558)-sin(-1.38439446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185333024187479-0.185324298019329)×R²
    abs(0.77408506-0.77403712)×8.72616815006388e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72616815006388e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72616815006388e-06×40589641000000     		ar = 3202.34998209578m²