Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81682 / 115250
↖ ↑ ↗
← S 79.457527°
E 44.346313°		 ← 55.88 m → S 79.457527°
E 44.349060°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
S 79.458029°
E 44.346313°		 ← 55.88 m →
3 122 m²		 S 79.458029°
E 44.349060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623188018798828 y=0.879291534423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623188018798828 × 217)
    floor (0.623188018798828 × 131072)
    floor (81682.5)     		tx = 81682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879291534423828 × 217)
    floor (0.879291534423828 × 131072)
    floor (115250.5)     		ty = 115250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81682 / 115250 ti = "17/81682/115250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81682/115250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81682 ÷ 217
    81682 ÷ 131072     		x = 0.623184204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115250 ÷ 217
    115250 ÷ 131072     		y = 0.879287719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623184204101562 × 2 - 1) × π
    0.246368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77398918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879287719726562 × 2 - 1) × π
    -0.758575439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.38313502771147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77398918} λ = 0.77398918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38313502771147))-π/2
    2×atan(0.0922608832222154)-π/2
    2×0.0920004350560125-π/2
    0.184000870112025-1.57079632675     		φ = -1.38679546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77398918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.346313°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38679546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.457527°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81682 KachelY 115250 0.77398918 -1.38679546 44.346313 -79.457527
    Oben rechts KachelX + 1 81683 KachelY 115250 0.77403712 -1.38679546 44.349060 -79.457527
    Unten links KachelX 81682 KachelY + 1 115251 0.77398918 -1.38680423 44.346313 -79.458029
    Unten rechts KachelX + 1 81683 KachelY + 1 115251 0.77403712 -1.38680423 44.349060 -79.458029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38679546--1.38680423) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38679546--1.38680423) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77398918-0.77403712) × cos(-1.38679546) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182964357631049 × 6371000     		do = 55.8820243230513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77398918-0.77403712) × cos(-1.38680423) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182955735665586 × 6371000     		du = 55.8793909528692m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38679546)-sin(-1.38680423))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182964357631049-0.182955735665586)×R²
    abs(0.77403712-0.77398918)×8.62196546388971e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62196546388971e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62196546388971e-06×40589641000000     		ar = 3122.26021807575m²