Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81676 / 114976
↖ ↑ ↗
← S 79.318942°
E 44.329834°		 ← 56.61 m → S 79.318942°
E 44.332581°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.319451°
E 44.329834°		 ← 56.61 m →
3 206 m²		 S 79.319451°
E 44.332581°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623142242431641 y=0.877201080322266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623142242431641 × 217)
    floor (0.623142242431641 × 131072)
    floor (81676.5)     		tx = 81676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877201080322266 × 217)
    floor (0.877201080322266 × 131072)
    floor (114976.5)     		ty = 114976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81676 / 114976 ti = "17/81676/114976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81676/114976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81676 ÷ 217
    81676 ÷ 131072     		x = 0.623138427734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114976 ÷ 217
    114976 ÷ 131072     		y = 0.877197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623138427734375 × 2 - 1) × π
    0.24627685546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77370156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877197265625 × 2 - 1) × π
    -0.75439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.37000031721558
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77370156} λ = 0.77370156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37000031721558))-π/2
    2×atan(0.0934806966245207)-π/2
    2×0.0932098174104903-π/2
    0.186419634820981-1.57079632675     		φ = -1.38437669
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77370156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.329834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38437669 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.318942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81676 KachelY 114976 0.77370156 -1.38437669 44.329834 -79.318942
    Oben rechts KachelX + 1 81677 KachelY 114976 0.77374950 -1.38437669 44.332581 -79.318942
    Unten links KachelX 81676 KachelY + 1 114977 0.77370156 -1.38438558 44.329834 -79.319451
    Unten rechts KachelX + 1 81677 KachelY + 1 114977 0.77374950 -1.38438558 44.332581 -79.319451
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38437669--1.38438558) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38437669--1.38438558) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77370156-0.77374950) × cos(-1.38437669) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185341760167756 × 6371000     		do = 56.6081442521024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77370156-0.77374950) × cos(-1.38438558) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185333024187479 × 6371000     		du = 56.6054760588617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38437669)-sin(-1.38438558))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185341760167756-0.185333024187479)×R²
    abs(0.77374950-0.77370156)×8.7359802769249e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7359802769249e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7359802769249e-06×40589641000000     		ar = 3206.10726887923m²