Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81675 / 17343
↖ ↑ ↗
← N 78.665147°
E 44.327087°		 ← 60.03 m → N 78.665147°
E 44.329834°		 →
↑
60.01 m
↓
↑
60.01 m
↓
N 78.664608°
E 44.327087°		 ← 60.03 m →
3 603 m²		 N 78.664608°
E 44.329834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623134613037109 y=0.132320404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623134613037109 × 217)
    floor (0.623134613037109 × 131072)
    floor (81675.5)     		tx = 81675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132320404052734 × 217)
    floor (0.132320404052734 × 131072)
    floor (17343.5)     		ty = 17343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81675 / 17343 ti = "17/81675/17343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81675/17343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81675 ÷ 217
    81675 ÷ 131072     		x = 0.623130798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17343 ÷ 217
    17343 ÷ 131072     		y = 0.132316589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623130798339844 × 2 - 1) × π
    0.246261596679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.77365362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132316589355469 × 2 - 1) × π
    0.735366821289062 × 3.1415926535     		Φ = 2.31022300338937
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77365362} λ = 0.77365362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31022300338937))-π/2
    2×atan(10.0766715363793)-π/2
    2×1.47188107900584-π/2
    2.94376215801167-1.57079632675     		φ = 1.37296583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77365362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.327087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37296583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.665147°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81675 KachelY 17343 0.77365362 1.37296583 44.327087 78.665147
    Oben rechts KachelX + 1 81676 KachelY 17343 0.77370156 1.37296583 44.329834 78.665147
    Unten links KachelX 81675 KachelY + 1 17344 0.77365362 1.37295641 44.327087 78.664608
    Unten rechts KachelX + 1 81676 KachelY + 1 17344 0.77370156 1.37295641 44.329834 78.664608
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37296583-1.37295641) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dl = 60.0148200002404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37296583-1.37295641) × R
    9.42000000003773e-06 × 6371000     		dr = 60.0148200002404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77365362-0.77370156) × cos(1.37296583) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196542607338505 × 6371000     		do = 60.0291712878531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77365362-0.77370156) × cos(1.37295641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.196551843595368 × 6371000     		du = 60.0319922784401m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37296583)-sin(1.37295641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196542607338505-0.196551843595368)×R²
    abs(0.77370156-0.77365362)×9.23625686241603e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.23625686241603e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.23625686241603e-06×40589641000000     		ar = 3602.72456036666m²