Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81674 / 114975
↖ ↑ ↗
← S 79.318433°
E 44.324341°		 ← 56.60 m → S 79.318433°
E 44.327087°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.318942°
E 44.324341°		 ← 56.60 m →
3 202 m²		 S 79.318942°
E 44.327087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623126983642578 y=0.877193450927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623126983642578 × 217)
    floor (0.623126983642578 × 131072)
    floor (81674.5)     		tx = 81674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877193450927734 × 217)
    floor (0.877193450927734 × 131072)
    floor (114975.5)     		ty = 114975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81674 / 114975 ti = "17/81674/114975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81674/114975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81674 ÷ 217
    81674 ÷ 131072     		x = 0.623123168945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114975 ÷ 217
    114975 ÷ 131072     		y = 0.877189636230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623123168945312 × 2 - 1) × π
    0.246246337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77360569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877189636230469 × 2 - 1) × π
    -0.754379272460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.36995238031596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77360569} λ = 0.77360569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36995238031596))-π/2
    2×atan(0.0934851779066998)-π/2
    2×0.0932142598697533-π/2
    0.186428519739507-1.57079632675     		φ = -1.38436781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77360569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.324341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38436781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.318433°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81674 KachelY 114975 0.77360569 -1.38436781 44.324341 -79.318433
    Oben rechts KachelX + 1 81675 KachelY 114975 0.77365362 -1.38436781 44.327087 -79.318433
    Unten links KachelX 81674 KachelY + 1 114976 0.77360569 -1.38437669 44.324341 -79.318942
    Unten rechts KachelX + 1 81675 KachelY + 1 114976 0.77365362 -1.38437669 44.327087 -79.318942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38436781--1.38437669) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38436781--1.38437669) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77360569-0.77365362) × cos(-1.38436781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185350486306661 × 6371000     		do = 56.5990007601237m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77360569-0.77365362) × cos(-1.38437669) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.185341760167756 × 6371000     		du = 56.5963361286339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38436781)-sin(-1.38437669))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185350486306661-0.185341760167756)×R²
    abs(0.77365362-0.77360569)×8.72613890426366e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.72613890426366e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.72613890426366e-06×40589641000000     		ar = 3201.98366139895m²