Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81673 / 20345
↖ ↑ ↗
← N 76.924963°
E 44.321594°		 ← 69.10 m → N 76.924963°
E 44.324341°		 →
↑
69.06 m
↓
↑
69.06 m
↓
N 76.924342°
E 44.321594°		 ← 69.10 m →
4 772 m²		 N 76.924342°
E 44.324341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623119354248047 y=0.155223846435547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623119354248047 × 217)
    floor (0.623119354248047 × 131072)
    floor (81673.5)     		tx = 81673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.155223846435547 × 217)
    floor (0.155223846435547 × 131072)
    floor (20345.5)     		ty = 20345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81673 / 20345 ti = "17/81673/20345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81673/20345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81673 ÷ 217
    81673 ÷ 131072     		x = 0.623115539550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20345 ÷ 217
    20345 ÷ 131072     		y = 0.155220031738281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623115539550781 × 2 - 1) × π
    0.246231079101562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77355775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155220031738281 × 2 - 1) × π
    0.689559936523438 × 3.1415926535     		Φ = 2.16631643072996
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77355775} λ = 0.77355775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16631643072996))-π/2
    2×atan(8.72608164108695)-π/2
    2×1.45669511002947-π/2
    2.91339022005894-1.57079632675     		φ = 1.34259389
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77355775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.321594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34259389 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.924963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81673 KachelY 20345 0.77355775 1.34259389 44.321594 76.924963
    Oben rechts KachelX + 1 81674 KachelY 20345 0.77360569 1.34259389 44.324341 76.924963
    Unten links KachelX 81673 KachelY + 1 20346 0.77355775 1.34258305 44.321594 76.924342
    Unten rechts KachelX + 1 81674 KachelY + 1 20346 0.77360569 1.34258305 44.324341 76.924342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34259389-1.34258305) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dl = 69.0616400004298m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34259389-1.34258305) × R
    1.08400000000675e-05 × 6371000     		dr = 69.0616400004298m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77355775-0.77360569) × cos(1.34259389) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226226929267842 × 6371000     		do = 69.0955272795131m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77355775-0.77360569) × cos(1.34258305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.226237488223494 × 6371000     		du = 69.0987522563565m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34259389)-sin(1.34258305))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226226929267842-0.226237488223494)×R²
    abs(0.77360569-0.77355775)×1.05589556512187e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05589556512187e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05589556512187e-05×40589641000000     		ar = 4771.96179167971m²