Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8167 / 7829
↖ ↑ ↗
← N 79.539623°
W135.137329°		 ← 110.90 m → N 79.539623°
W135.131836°		 →
↑
110.86 m
↓
↑
110.86 m
↓
N 79.538626°
W135.137329°		 ← 110.91 m →
12 295 m²		 N 79.538626°
W135.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8167 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124626159667969 y=0.119468688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124626159667969 × 216)
    floor (0.124626159667969 × 65536)
    floor (8167.5)     		tx = 8167
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119468688964844 × 216)
    floor (0.119468688964844 × 65536)
    floor (7829.5)     		ty = 7829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8167 / 7829 ti = "16/8167/7829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8167/7829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8167 ÷ 216
    8167 ÷ 65536     		x = 0.124618530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7829 ÷ 216
    7829 ÷ 65536     		y = 0.119461059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124618530273438 × 2 - 1) × π
    -0.750762939453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35859134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119461059570312 × 2 - 1) × π
    0.761077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.39099667924916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35859134} λ = -2.35859134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39099667924916))-π/2
    2×atan(10.9243766183583)-π/2
    2×1.47951232033249-π/2
    2.95902464066498-1.57079632675     		φ = 1.38822831
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35859134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.137329°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38822831 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.539623°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8167 KachelY 7829 -2.35859134 1.38822831 -135.137329 79.539623
    Oben rechts KachelX + 1 8168 KachelY 7829 -2.35849546 1.38822831 -135.131836 79.539623
    Unten links KachelX 8167 KachelY + 1 7830 -2.35859134 1.38821091 -135.137329 79.538626
    Unten rechts KachelX + 1 8168 KachelY + 1 7830 -2.35849546 1.38821091 -135.131836 79.538626
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38822831-1.38821091) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dl = 110.855399999651m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38822831-1.38821091) × R
    1.73999999999452e-05 × 6371000     		dr = 110.855399999651m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35859134--2.35849546) × cos(1.38822831) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181555507451748 × 6371000     		do = 110.903450428979m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35859134--2.35849546) × cos(1.38821091) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.181572618248413 × 6371000     		du = 110.913902584445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38822831)-sin(1.38821091))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181555507451748-0.181572618248413)×R²
    abs(-2.35849546--2.35859134)×1.71107966649708e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.71107966649708e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.71107966649708e-05×40589641000000     		ar = 12294.825697759m²