Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81669 / 114981
↖ ↑ ↗
← S 79.321487°
E 44.310608°		 ← 56.59 m → S 79.321487°
E 44.313355°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.321995°
E 44.310608°		 ← 56.59 m →
3 202 m²		 S 79.321995°
E 44.313355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114981 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623088836669922 y=0.877239227294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623088836669922 × 217)
    floor (0.623088836669922 × 131072)
    floor (81669.5)     		tx = 81669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877239227294922 × 217)
    floor (0.877239227294922 × 131072)
    floor (114981.5)     		ty = 114981
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81669 / 114981 ti = "17/81669/114981"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81669/114981.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81669 ÷ 217
    81669 ÷ 131072     		x = 0.623085021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114981 ÷ 217
    114981 ÷ 131072     		y = 0.877235412597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623085021972656 × 2 - 1) × π
    0.246170043945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77336600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877235412597656 × 2 - 1) × π
    -0.754470825195312 × 3.1415926535     		Φ = -2.37024000171368
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77336600} λ = 0.77336600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.37024000171368))-π/2
    2×atan(0.093458293435624)-π/2
    2×0.0931876082529322-π/2
    0.186375216505864-1.57079632675     		φ = -1.38442111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77336600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.310608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38442111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.321487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81669 KachelY 114981 0.77336600 -1.38442111 44.310608 -79.321487
    Oben rechts KachelX + 1 81670 KachelY 114981 0.77341394 -1.38442111 44.313355 -79.321487
    Unten links KachelX 81669 KachelY + 1 114982 0.77336600 -1.38442999 44.310608 -79.321995
    Unten rechts KachelX + 1 81670 KachelY + 1 114982 0.77341394 -1.38442999 44.313355 -79.321995
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38442111--1.38442999) × R
    8.88000000021094e-06 × 6371000     		dl = 56.5744800013439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38442111--1.38442999) × R
    8.88000000021094e-06 × 6371000     		dr = 56.5744800013439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77336600-0.77341394) × cos(-1.38442111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185298109600377 × 6371000     		do = 56.594812245259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77336600-0.77341394) × cos(-1.38442999) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18528938337376 × 6371000     		du = 56.5921470310371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38442111)-sin(-1.38442999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185298109600377-0.18528938337376)×R²
    abs(0.77341394-0.77336600)×8.72622661715616e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72622661715616e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72622661715616e-06×40589641000000     		ar = 3201.74668192607m²