Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81669 / 114973
↖ ↑ ↗
← S 79.317415°
E 44.310608°		 ← 56.62 m → S 79.317415°
E 44.313355°		 →
↑
56.57 m
↓
↑
56.57 m
↓
S 79.317923°
E 44.310608°		 ← 56.61 m →
3 203 m²		 S 79.317923°
E 44.313355°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623088836669922 y=0.877178192138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623088836669922 × 217)
    floor (0.623088836669922 × 131072)
    floor (81669.5)     		tx = 81669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877178192138672 × 217)
    floor (0.877178192138672 × 131072)
    floor (114973.5)     		ty = 114973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81669 / 114973 ti = "17/81669/114973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81669/114973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81669 ÷ 217
    81669 ÷ 131072     		x = 0.623085021972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114973 ÷ 217
    114973 ÷ 131072     		y = 0.877174377441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623085021972656 × 2 - 1) × π
    0.246170043945312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77336600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877174377441406 × 2 - 1) × π
    -0.754348754882812 × 3.1415926535     		Φ = -2.36985650651672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77336600} λ = 0.77336600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36985650651672))-π/2
    2×atan(0.0934941411155399)-π/2
    2×0.0932231454161065-π/2
    0.186446290832213-1.57079632675     		φ = -1.38435004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77336600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.310608°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38435004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.317415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81669 KachelY 114973 0.77336600 -1.38435004 44.310608 -79.317415
    Oben rechts KachelX + 1 81670 KachelY 114973 0.77341394 -1.38435004 44.313355 -79.317415
    Unten links KachelX 81669 KachelY + 1 114974 0.77336600 -1.38435892 44.310608 -79.317923
    Unten rechts KachelX + 1 81670 KachelY + 1 114974 0.77341394 -1.38435892 44.313355 -79.317923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38435004--1.38435892) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dl = 56.5744799999293m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38435004--1.38435892) × R
    8.8799999999889e-06 × 6371000     		dr = 56.5744799999293m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77336600-0.77341394) × cos(-1.38435004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185367948367313 × 6371000     		do = 56.6161428023314m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77336600-0.77341394) × cos(-1.38435892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185359222257658 × 6371000     		du = 56.6134776238324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38435004)-sin(-1.38435892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185367948367313-0.185359222257658)×R²
    abs(0.77341394-0.77336600)×8.72610965571563e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.72610965571563e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.72610965571563e-06×40589641000000     		ar = 3202.95344818012m²