Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81668 / 114972
↖ ↑ ↗
← S 79.316905°
E 44.307861°		 ← 56.62 m → S 79.316905°
E 44.310608°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.317415°
E 44.307861°		 ← 56.62 m →
3 207 m²		 S 79.317415°
E 44.310608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114972 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623081207275391 y=0.877170562744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623081207275391 × 217)
    floor (0.623081207275391 × 131072)
    floor (81668.5)     		tx = 81668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877170562744141 × 217)
    floor (0.877170562744141 × 131072)
    floor (114972.5)     		ty = 114972
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81668 / 114972 ti = "17/81668/114972"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81668/114972.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81668 ÷ 217
    81668 ÷ 131072     		x = 0.623077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114972 ÷ 217
    114972 ÷ 131072     		y = 0.877166748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623077392578125 × 2 - 1) × π
    0.24615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77331806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877166748046875 × 2 - 1) × π
    -0.75433349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.3698085696171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77331806} λ = 0.77331806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.3698085696171))-π/2
    2×atan(0.0934986230422216)-π/2
    2×0.0932275885032158-π/2
    0.186455177006432-1.57079632675     		φ = -1.38434115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77331806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.307861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38434115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.316905°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81668 KachelY 114972 0.77331806 -1.38434115 44.307861 -79.316905
    Oben rechts KachelX + 1 81669 KachelY 114972 0.77336600 -1.38434115 44.310608 -79.316905
    Unten links KachelX 81668 KachelY + 1 114973 0.77331806 -1.38435004 44.307861 -79.317415
    Unten rechts KachelX + 1 81669 KachelY + 1 114973 0.77336600 -1.38435004 44.310608 -79.317415
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38434115--1.38435004) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38434115--1.38435004) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77331806-0.77336600) × cos(-1.38434115) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185376684289027 × 6371000     		do = 56.6188109776854m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77331806-0.77336600) × cos(-1.38435004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185367948367313 × 6371000     		du = 56.6161428023314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38434115)-sin(-1.38435004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185376684289027-0.185367948367313)×R²
    abs(0.77336600-0.77331806)×8.73592171393711e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73592171393711e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73592171393711e-06×40589641000000     		ar = 3206.71141331245m²