Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81668 / 114961
↖ ↑ ↗
← S 79.311303°
E 44.307861°		 ← 56.65 m → S 79.311303°
E 44.310608°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.311812°
E 44.307861°		 ← 56.65 m →
3 208 m²		 S 79.311812°
E 44.310608°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114961 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623081207275391 y=0.877086639404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623081207275391 × 217)
    floor (0.623081207275391 × 131072)
    floor (81668.5)     		tx = 81668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877086639404297 × 217)
    floor (0.877086639404297 × 131072)
    floor (114961.5)     		ty = 114961
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81668 / 114961 ti = "17/81668/114961"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81668/114961.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81668 ÷ 217
    81668 ÷ 131072     		x = 0.623077392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114961 ÷ 217
    114961 ÷ 131072     		y = 0.877082824707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623077392578125 × 2 - 1) × π
    0.24615478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77331806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877082824707031 × 2 - 1) × π
    -0.754165649414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.36928126372128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77331806} λ = 0.77331806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36928126372128))-π/2
    2×atan(0.0935479384184045)-π/2
    2×0.0932764762773862-π/2
    0.186552952554772-1.57079632675     		φ = -1.38424337
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77331806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.307861°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38424337 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.311303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81668 KachelY 114961 0.77331806 -1.38424337 44.307861 -79.311303
    Oben rechts KachelX + 1 81669 KachelY 114961 0.77336600 -1.38424337 44.310608 -79.311303
    Unten links KachelX 81668 KachelY + 1 114962 0.77331806 -1.38425226 44.307861 -79.311812
    Unten rechts KachelX + 1 81669 KachelY + 1 114962 0.77336600 -1.38425226 44.310608 -79.311812
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38424337--1.38425226) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38424337--1.38425226) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77331806-0.77336600) × cos(-1.38424337) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185472768634289 × 6371000     		do = 56.6481576099393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77331806-0.77336600) × cos(-1.38425226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185464032873754 × 6371000     		du = 56.6454894838135m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38424337)-sin(-1.38425226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185472768634289-0.185464032873754)×R²
    abs(0.77336600-0.77331806)×8.73576053467273e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.73576053467273e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.73576053467273e-06×40589641000000     		ar = 3208.37355495933m²