Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81663 / 20286
↖ ↑ ↗
← N 76.961573°
E 44.294128°		 ← 68.91 m → N 76.961573°
E 44.296875°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.960953°
E 44.294128°		 ← 68.91 m →
4 750 m²		 N 76.960953°
E 44.296875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623043060302734 y=0.154773712158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623043060302734 × 217)
    floor (0.623043060302734 × 131072)
    floor (81663.5)     		tx = 81663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154773712158203 × 217)
    floor (0.154773712158203 × 131072)
    floor (20286.5)     		ty = 20286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81663 / 20286 ti = "17/81663/20286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81663/20286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81663 ÷ 217
    81663 ÷ 131072     		x = 0.623039245605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20286 ÷ 217
    20286 ÷ 131072     		y = 0.154769897460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623039245605469 × 2 - 1) × π
    0.246078491210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.77307838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154769897460938 × 2 - 1) × π
    0.690460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.16914470780754
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77307838} λ = 0.77307838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16914470780754))-π/2
    2×atan(8.75079635131905)-π/2
    2×1.45701458594976-π/2
    2.91402917189951-1.57079632675     		φ = 1.34323285
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77307838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.294128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34323285 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.961573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81663 KachelY 20286 0.77307838 1.34323285 44.294128 76.961573
    Oben rechts KachelX + 1 81664 KachelY 20286 0.77312632 1.34323285 44.296875 76.961573
    Unten links KachelX 81663 KachelY + 1 20287 0.77307838 1.34322203 44.294128 76.960953
    Unten rechts KachelX + 1 81664 KachelY + 1 20287 0.77312632 1.34322203 44.296875 76.960953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34323285-1.34322203) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34323285-1.34322203) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77307838-0.77312632) × cos(1.34323285) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225604488406523 × 6371000     		do = 68.9054178189982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77307838-0.77312632) × cos(1.34322203) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225615029442646 × 6371000     		du = 68.9086373227564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34323285)-sin(1.34322203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225604488406523-0.225615029442646)×R²
    abs(0.77312632-0.77307838)×1.05410361229963e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05410361229963e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05410361229963e-05×40589641000000     		ar = 4750.0521982281m²