Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81662 / 20278
↖ ↑ ↗
← N 76.966529°
E 44.291382°		 ← 68.88 m → N 76.966529°
E 44.294128°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.965910°
E 44.291382°		 ← 68.88 m →
4 744 m²		 N 76.965910°
E 44.294128°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20278 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623035430908203 y=0.154712677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623035430908203 × 217)
    floor (0.623035430908203 × 131072)
    floor (81662.5)     		tx = 81662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154712677001953 × 217)
    floor (0.154712677001953 × 131072)
    floor (20278.5)     		ty = 20278
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81662 / 20278 ti = "17/81662/20278"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81662/20278.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81662 ÷ 217
    81662 ÷ 131072     		x = 0.623031616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20278 ÷ 217
    20278 ÷ 131072     		y = 0.154708862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623031616210938 × 2 - 1) × π
    0.246063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77303044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154708862304688 × 2 - 1) × π
    0.690582275390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.1695282030045
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77303044} λ = 0.77303044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1695282030045))-π/2
    2×atan(8.75415288325516)-π/2
    2×1.4570578369895-π/2
    2.914115673979-1.57079632675     		φ = 1.34331935
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77303044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.291382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34331935 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.966529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81662 KachelY 20278 0.77303044 1.34331935 44.291382 76.966529
    Oben rechts KachelX + 1 81663 KachelY 20278 0.77307838 1.34331935 44.294128 76.966529
    Unten links KachelX 81662 KachelY + 1 20279 0.77303044 1.34330854 44.291382 76.965910
    Unten rechts KachelX + 1 81663 KachelY + 1 20279 0.77307838 1.34330854 44.294128 76.965910
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34331935-1.34330854) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34331935-1.34330854) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77303044-0.77307838) × cos(1.34331935) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225520217621118 × 6371000     		do = 68.8796793518459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77303044-0.77307838) × cos(1.34330854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225530749125996 × 6371000     		du = 68.8828959445166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34331935)-sin(1.34330854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225520217621118-0.225530749125996)×R²
    abs(0.77307838-0.77303044)×1.05315048780641e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05315048780641e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05315048780641e-05×40589641000000     		ar = 4743.88940979868m²