Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81660 / 20310
↖ ↑ ↗
← N 76.946693°
E 44.285889°		 ← 68.98 m → N 76.946693°
E 44.288635°		 →
↑
68.93 m
↓
↑
68.93 m
↓
N 76.946073°
E 44.285889°		 ← 68.99 m →
4 755 m²		 N 76.946073°
E 44.288635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20310 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623020172119141 y=0.154956817626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623020172119141 × 217)
    floor (0.623020172119141 × 131072)
    floor (81660.5)     		tx = 81660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154956817626953 × 217)
    floor (0.154956817626953 × 131072)
    floor (20310.5)     		ty = 20310
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81660 / 20310 ti = "17/81660/20310"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81660/20310.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81660 ÷ 217
    81660 ÷ 131072     		x = 0.623016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20310 ÷ 217
    20310 ÷ 131072     		y = 0.154953002929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623016357421875 × 2 - 1) × π
    0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154953002929688 × 2 - 1) × π
    0.690093994140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.16799422221666
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77293457} λ = 0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16799422221666))-π/2
    2×atan(8.74073447533963)-π/2
    2×1.45688473583587-π/2
    2.91376947167174-1.57079632675     		φ = 1.34297314
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34297314 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.946693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81660 KachelY 20310 0.77293457 1.34297314 44.285889 76.946693
    Oben rechts KachelX + 1 81661 KachelY 20310 0.77298251 1.34297314 44.288635 76.946693
    Unten links KachelX 81660 KachelY + 1 20311 0.77293457 1.34296232 44.285889 76.946073
    Unten rechts KachelX + 1 81661 KachelY + 1 20311 0.77298251 1.34296232 44.288635 76.946073
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34297314-1.34296232) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dl = 68.9342199997895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34297314-1.34296232) × R
    1.0819999999967e-05 × 6371000     		dr = 68.9342199997895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77293457-0.77298251) × cos(1.34297314) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22585749520572 × 6371000     		do = 68.9826926077083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77293457-0.77298251) × cos(1.34296232) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.22586803560751 × 6371000     		du = 68.9859119177249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34297314)-sin(1.34296232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.22585749520572-0.22586803560751)×R²
    abs(0.77298251-0.77293457)×1.05404017900768e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05404017900768e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05404017900768e-05×40589641000000     		ar = 4755.37906875004m²