Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81660 / 114941
↖ ↑ ↗
← S 79.301110°
E 44.285889°		 ← 56.70 m → S 79.301110°
E 44.288635°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.301620°
E 44.285889°		 ← 56.70 m →
3 215 m²		 S 79.301620°
E 44.288635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81660 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114941 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623020172119141 y=0.876934051513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623020172119141 × 217)
    floor (0.623020172119141 × 131072)
    floor (81660.5)     		tx = 81660
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.876934051513672 × 217)
    floor (0.876934051513672 × 131072)
    floor (114941.5)     		ty = 114941
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81660 / 114941 ti = "17/81660/114941"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81660/114941.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81660 ÷ 217
    81660 ÷ 131072     		x = 0.623016357421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114941 ÷ 217
    114941 ÷ 131072     		y = 0.876930236816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623016357421875 × 2 - 1) × π
    0.24603271484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77293457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.876930236816406 × 2 - 1) × π
    -0.753860473632812 × 3.1415926535     		Φ = -2.36832252572887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77293457} λ = 0.77293457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36832252572887))-π/2
    2×atan(0.0936376693884488)-π/2
    2×0.0933654280641503-π/2
    0.186730856128301-1.57079632675     		φ = -1.38406547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77293457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.285889°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38406547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.301110°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81660 KachelY 114941 0.77293457 -1.38406547 44.285889 -79.301110
    Oben rechts KachelX + 1 81661 KachelY 114941 0.77298251 -1.38406547 44.288635 -79.301110
    Unten links KachelX 81660 KachelY + 1 114942 0.77293457 -1.38407437 44.285889 -79.301620
    Unten rechts KachelX + 1 81661 KachelY + 1 114942 0.77298251 -1.38407437 44.288635 -79.301620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38406547--1.38407437) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dl = 56.7019000005695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38406547--1.38407437) × R
    8.90000000008939e-06 × 6371000     		dr = 56.7019000005695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77293457-0.77298251) × cos(-1.38406547) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185647579027462 × 6371000     		do = 56.7015492036339m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77293457-0.77298251) × cos(-1.38407437) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185638833734209 × 6371000     		du = 56.6988781659705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38406547)-sin(-1.38407437))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185647579027462-0.185638833734209)×R²
    abs(0.77298251-0.77293457)×8.74529325300966e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.74529325300966e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.74529325300966e-06×40589641000000     		ar = 3215.00984645644m²