Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8166 / 8094
↖ ↑ ↗
← N 79.272007°
W135.142822°		 ← 113.70 m → N 79.272007°
W135.137329°		 →
↑
113.72 m
↓
↑
113.72 m
↓
N 79.270984°
W135.142822°		 ← 113.71 m →
12 930 m²		 N 79.270984°
W135.137329°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8166 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124610900878906 y=0.123512268066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124610900878906 × 216)
    floor (0.124610900878906 × 65536)
    floor (8166.5)     		tx = 8166
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.123512268066406 × 216)
    floor (0.123512268066406 × 65536)
    floor (8094.5)     		ty = 8094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8166 / 8094 ti = "16/8166/8094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8166/8094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8166 ÷ 216
    8166 ÷ 65536     		x = 0.124603271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8094 ÷ 216
    8094 ÷ 65536     		y = 0.123504638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.75079345703125 × 3.1415926535     		Λ = -2.35868721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.123504638671875 × 2 - 1) × π
    0.75299072265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.36559012245053
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35868721} λ = -2.35868721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.36559012245053))-π/2
    2×atan(10.6503219575092)-π/2
    2×1.477176925922-π/2
    2.95435385184399-1.57079632675     		φ = 1.38355753
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35868721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.142822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38355753 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.272007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8166 KachelY 8094 -2.35868721 1.38355753 -135.142822 79.272007
    Oben rechts KachelX + 1 8167 KachelY 8094 -2.35859134 1.38355753 -135.137329 79.272007
    Unten links KachelX 8166 KachelY + 1 8095 -2.35868721 1.38353968 -135.142822 79.270984
    Unten rechts KachelX + 1 8167 KachelY + 1 8095 -2.35859134 1.38353968 -135.137329 79.270984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38355753-1.38353968) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dl = 113.722350000618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38355753-1.38353968) × R
    1.7850000000097e-05 × 6371000     		dr = 113.722350000618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35868721--2.35859134) × cos(1.38355753) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186146665227998 × 6371000     		do = 113.696106547543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35868721--2.35859134) × cos(1.38353968) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.186164203215484 × 6371000     		du = 113.70681853581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38355753)-sin(1.38353968))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.186146665227998-0.186164203215484)×R²
    abs(-2.35859134--2.35868721)×1.75379874856052e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.75379874856052e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.75379874856052e-05×40589641000000     		ar = 12930.3975192265m²