Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81658 / 115257
↖ ↑ ↗
← S 79.461044°
E 44.280396°		 ← 55.85 m → S 79.461044°
E 44.283142°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
S 79.461546°
E 44.280396°		 ← 55.85 m →
3 121 m²		 S 79.461546°
E 44.283142°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115257 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.623004913330078 y=0.879344940185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.623004913330078 × 217)
    floor (0.623004913330078 × 131072)
    floor (81658.5)     		tx = 81658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879344940185547 × 217)
    floor (0.879344940185547 × 131072)
    floor (115257.5)     		ty = 115257
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81658 / 115257 ti = "17/81658/115257"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81658/115257.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81658 ÷ 217
    81658 ÷ 131072     		x = 0.623001098632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115257 ÷ 217
    115257 ÷ 131072     		y = 0.879341125488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.623001098632812 × 2 - 1) × π
    0.246002197265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.77283870
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879341125488281 × 2 - 1) × π
    -0.758682250976562 × 3.1415926535     		Φ = -2.38347058600881
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77283870} λ = 0.77283870}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38347058600881))-π/2
    2×atan(0.092229929511008)-π/2
    2×0.0919697425142441-π/2
    0.183939485028488-1.57079632675     		φ = -1.38685684
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77283870} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.280396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38685684 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.461044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81658 KachelY 115257 0.77283870 -1.38685684 44.280396 -79.461044
    Oben rechts KachelX + 1 81659 KachelY 115257 0.77288663 -1.38685684 44.283142 -79.461044
    Unten links KachelX 81658 KachelY + 1 115258 0.77283870 -1.38686561 44.280396 -79.461546
    Unten rechts KachelX + 1 81659 KachelY + 1 115258 0.77288663 -1.38686561 44.283142 -79.461546
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38685684--1.38686561) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38685684--1.38686561) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77283870-0.77288663) × cos(-1.38685684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182904013408628 × 6371000     		do = 55.8519408296402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77283870-0.77288663) × cos(-1.38686561) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.182895391344693 × 6371000     		du = 55.849307978694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38685684)-sin(-1.38686561))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182904013408628-0.182895391344693)×R²
    abs(0.77288663-0.77283870)×8.62206393548171e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.62206393548171e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.62206393548171e-06×40589641000000     		ar = 3120.579357257m²