Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 81657 / 20315
↖ ↑ ↗
← N 76.943591°
E 44.277649°		 ← 69 m → N 76.943591°
E 44.280396°		 →
↑
69 m
↓
↑
69 m
↓
N 76.942970°
E 44.277649°		 ← 69 m →
4 761 m²		 N 76.942970°
E 44.280396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20315 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622997283935547 y=0.154994964599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622997283935547 × 217)
    floor (0.622997283935547 × 131072)
    floor (81657.5)     		tx = 81657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154994964599609 × 217)
    floor (0.154994964599609 × 131072)
    floor (20315.5)     		ty = 20315
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81657 / 20315 ti = "17/81657/20315"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81657/20315.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81657 ÷ 217
    81657 ÷ 131072     		x = 0.622993469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20315 ÷ 217
    20315 ÷ 131072     		y = 0.154991149902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622993469238281 × 2 - 1) × π
    0.245986938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77279076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154991149902344 × 2 - 1) × π
    0.690017700195312 × 3.1415926535     		Φ = 2.16775453771856
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77279076} λ = 0.77279076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16775453771856))-π/2
    2×atan(8.73863970783556)-π/2
    2×1.45685766540603-π/2
    2.91371533081207-1.57079632675     		φ = 1.34291900
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77279076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.277649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34291900 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.943591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81657 KachelY 20315 0.77279076 1.34291900 44.277649 76.943591
    Oben rechts KachelX + 1 81658 KachelY 20315 0.77283870 1.34291900 44.280396 76.943591
    Unten links KachelX 81657 KachelY + 1 20316 0.77279076 1.34290817 44.277649 76.942970
    Unten rechts KachelX + 1 81658 KachelY + 1 20316 0.77283870 1.34290817 44.280396 76.942970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34291900-1.34290817) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dl = 68.9979299994023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34291900-1.34290817) × R
    1.08299999999062e-05 × 6371000     		dr = 68.9979299994023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77279076-0.77283870) × cos(1.34291900) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225910235916154 × 6371000     		do = 68.9988009782208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77279076-0.77283870) × cos(1.34290817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.225920785927076 × 6371000     		du = 69.0020232231137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34291900)-sin(1.34290817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225910235916154-0.225920785927076)×R²
    abs(0.77283870-0.77279076)×1.05500109220946e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.05500109220946e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.05500109220946e-05×40589641000000     		ar = 4760.88560409075m²