Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81657 / 114957
↖ ↑ ↗
← S 79.309265°
E 44.277649°		 ← 56.66 m → S 79.309265°
E 44.280396°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.309775°
E 44.277649°		 ← 56.66 m →
3 209 m²		 S 79.309775°
E 44.280396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114957 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622997283935547 y=0.877056121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622997283935547 × 217)
    floor (0.622997283935547 × 131072)
    floor (81657.5)     		tx = 81657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877056121826172 × 217)
    floor (0.877056121826172 × 131072)
    floor (114957.5)     		ty = 114957
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81657 / 114957 ti = "17/81657/114957"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81657/114957.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81657 ÷ 217
    81657 ÷ 131072     		x = 0.622993469238281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114957 ÷ 217
    114957 ÷ 131072     		y = 0.877052307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622993469238281 × 2 - 1) × π
    0.245986938476562 × 3.1415926535     		Λ = 0.77279076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877052307128906 × 2 - 1) × π
    -0.754104614257812 × 3.1415926535     		Φ = -2.36908951612279
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77279076} λ = 0.77279076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36908951612279))-π/2
    2×atan(0.0935658777307941)-π/2
    2×0.0932942599313188-π/2
    0.186588519862638-1.57079632675     		φ = -1.38420781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77279076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.277649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38420781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.309265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81657 KachelY 114957 0.77279076 -1.38420781 44.277649 -79.309265
    Oben rechts KachelX + 1 81658 KachelY 114957 0.77283870 -1.38420781 44.280396 -79.309265
    Unten links KachelX 81657 KachelY + 1 114958 0.77279076 -1.38421670 44.277649 -79.309775
    Unten rechts KachelX + 1 81658 KachelY + 1 114958 0.77283870 -1.38421670 44.280396 -79.309775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38420781--1.38421670) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dl = 56.6381900009567m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38420781--1.38421670) × R
    8.89000000015017e-06 × 6371000     		dr = 56.6381900009567m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77279076-0.77283870) × cos(-1.38420781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185507711529838 × 6371000     		do = 56.6588300696701m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77279076-0.77283870) × cos(-1.38421670) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18549897582794 × 6371000     		du = 56.6561619614536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38420781)-sin(-1.38421670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185507711529838-0.18549897582794)×R²
    abs(0.77283870-0.77279076)×8.7357018975498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7357018975498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7357018975498e-06×40589641000000     		ar = 3208.97802430871m²