Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81656 / 114956
↖ ↑ ↗
← S 79.308756°
E 44.274902°		 ← 56.66 m → S 79.308756°
E 44.277649°		 →
↑
56.70 m
↓
↑
56.70 m
↓
S 79.309265°
E 44.274902°		 ← 56.66 m →
3 213 m²		 S 79.309265°
E 44.277649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622989654541016 y=0.877048492431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622989654541016 × 217)
    floor (0.622989654541016 × 131072)
    floor (81656.5)     		tx = 81656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877048492431641 × 217)
    floor (0.877048492431641 × 131072)
    floor (114956.5)     		ty = 114956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81656 / 114956 ti = "17/81656/114956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81656/114956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81656 ÷ 217
    81656 ÷ 131072     		x = 0.62298583984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114956 ÷ 217
    114956 ÷ 131072     		y = 0.877044677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62298583984375 × 2 - 1) × π
    0.2459716796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.77274282
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877044677734375 × 2 - 1) × π
    -0.75408935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.36904157922317
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77274282} λ = 0.77274282}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36904157922317))-π/2
    2×atan(0.0935703630963891)-π/2
    2×0.0932987063683878-π/2
    0.186597412736776-1.57079632675     		φ = -1.38419891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77274282} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.274902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38419891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.308756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81656 KachelY 114956 0.77274282 -1.38419891 44.274902 -79.308756
    Oben rechts KachelX + 1 81657 KachelY 114956 0.77279076 -1.38419891 44.277649 -79.308756
    Unten links KachelX 81656 KachelY + 1 114957 0.77274282 -1.38420781 44.274902 -79.309265
    Unten rechts KachelX + 1 81657 KachelY + 1 114957 0.77279076 -1.38420781 44.277649 -79.309265
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38419891--1.38420781) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dl = 56.7018999991549m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38419891--1.38420781) × R
    8.89999999986735e-06 × 6371000     		dr = 56.7018999991549m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77274282-0.77279076) × cos(-1.38419891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185516457043486 × 6371000     		do = 56.6615011746476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77274282-0.77279076) × cos(-1.38420781) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.185507711529838 × 6371000     		du = 56.6588300696701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38419891)-sin(-1.38420781))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185516457043486-0.185507711529838)×R²
    abs(0.77279076-0.77274282)×8.7455136477399e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.7455136477399e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.7455136477399e-06×40589641000000     		ar = 3212.73904503553m²