Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81655 / 115215
↖ ↑ ↗
← S 79.439924°
E 44.272155°		 ← 55.97 m → S 79.439924°
E 44.274902°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.440427°
E 44.272155°		 ← 55.97 m →
3 131 m²		 S 79.440427°
E 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115215 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622982025146484 y=0.879024505615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622982025146484 × 217)
    floor (0.622982025146484 × 131072)
    floor (81655.5)     		tx = 81655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879024505615234 × 217)
    floor (0.879024505615234 × 131072)
    floor (115215.5)     		ty = 115215
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81655 / 115215 ti = "17/81655/115215"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81655/115215.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81655 ÷ 217
    81655 ÷ 131072     		x = 0.622978210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115215 ÷ 217
    115215 ÷ 131072     		y = 0.879020690917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622978210449219 × 2 - 1) × π
    0.245956420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77269488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879020690917969 × 2 - 1) × π
    -0.758041381835938 × 3.1415926535     		Φ = -2.38145723622477
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77269488} λ = 0.77269488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38145723622477))-π/2
    2×atan(0.0924158076757634)-π/2
    2×0.0921540497336782-π/2
    0.184308099467356-1.57079632675     		φ = -1.38648823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77269488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.272155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38648823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.439924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81655 KachelY 115215 0.77269488 -1.38648823 44.272155 -79.439924
    Oben rechts KachelX + 1 81656 KachelY 115215 0.77274282 -1.38648823 44.274902 -79.439924
    Unten links KachelX 81655 KachelY + 1 115216 0.77269488 -1.38649701 44.272155 -79.440427
    Unten rechts KachelX + 1 81656 KachelY + 1 115216 0.77274282 -1.38649701 44.274902 -79.440427
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38648823--1.38649701) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dl = 55.9373799995573m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38648823--1.38649701) × R
    8.77999999993051e-06 × 6371000     		dr = 55.9373799995573m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77269488-0.77274282) × cos(-1.38648823) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183266392809717 × 6371000     		do = 55.9742736411315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77269488-0.77274282) × cos(-1.38649701) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.18325776150698 × 6371000     		du = 55.9716374191058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38648823)-sin(-1.38649701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183266392809717-0.18325776150698)×R²
    abs(0.77274282-0.77269488)×8.63130273703883e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.63130273703883e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.63130273703883e-06×40589641000000     		ar = 3130.98048313141m²