Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81655 / 115207
↖ ↑ ↗
← S 79.435896°
E 44.272155°		 ← 56 m → S 79.435896°
E 44.274902°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
S 79.436400°
E 44.272155°		 ← 55.99 m →
3 136 m²		 S 79.436400°
E 44.274902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622982025146484 y=0.878963470458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622982025146484 × 217)
    floor (0.622982025146484 × 131072)
    floor (81655.5)     		tx = 81655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.878963470458984 × 217)
    floor (0.878963470458984 × 131072)
    floor (115207.5)     		ty = 115207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81655 / 115207 ti = "17/81655/115207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81655/115207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81655 ÷ 217
    81655 ÷ 131072     		x = 0.622978210449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115207 ÷ 217
    115207 ÷ 131072     		y = 0.878959655761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622978210449219 × 2 - 1) × π
    0.245956420898438 × 3.1415926535     		Λ = 0.77269488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.878959655761719 × 2 - 1) × π
    -0.757919311523438 × 3.1415926535     		Φ = -2.38107374102781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77269488} λ = 0.77269488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38107374102781))-π/2
    2×atan(0.0924512554907292)-π/2
    2×0.0921891972497478-π/2
    0.184378394499496-1.57079632675     		φ = -1.38641793
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77269488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.272155°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38641793 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.435896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81655 KachelY 115207 0.77269488 -1.38641793 44.272155 -79.435896
    Oben rechts KachelX + 1 81656 KachelY 115207 0.77274282 -1.38641793 44.274902 -79.435896
    Unten links KachelX 81655 KachelY + 1 115208 0.77269488 -1.38642672 44.272155 -79.436400
    Unten rechts KachelX + 1 81656 KachelY + 1 115208 0.77274282 -1.38642672 44.274902 -79.436400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38641793--1.38642672) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38641793--1.38642672) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77269488-0.77274282) × cos(-1.38641793) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183335501705985 × 6371000     		do = 55.9953812769147m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77269488-0.77274282) × cos(-1.38642672) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.183326860685865 × 6371000     		du = 55.99274208695m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38641793)-sin(-1.38642672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183335501705985-0.183326860685865)×R²
    abs(0.77274282-0.77269488)×8.64102012038126e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.64102012038126e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.64102012038126e-06×40589641000000     		ar = 3135.72848788085m²