Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81654 / 114954
↖ ↑ ↗
← S 79.307737°
E 44.269409°		 ← 56.66 m → S 79.307737°
E 44.272155°		 →
↑
56.64 m
↓
↑
56.64 m
↓
S 79.308246°
E 44.269409°		 ← 56.65 m →
3 209 m²		 S 79.308246°
E 44.272155°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 114954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622974395751953 y=0.877033233642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622974395751953 × 217)
    floor (0.622974395751953 × 131072)
    floor (81654.5)     		tx = 81654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.877033233642578 × 217)
    floor (0.877033233642578 × 131072)
    floor (114954.5)     		ty = 114954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81654 / 114954 ti = "17/81654/114954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81654/114954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81654 ÷ 217
    81654 ÷ 131072     		x = 0.622970581054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 114954 ÷ 217
    114954 ÷ 131072     		y = 0.877029418945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622970581054688 × 2 - 1) × π
    0.245941162109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.77264695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.877029418945312 × 2 - 1) × π
    -0.754058837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.36894570542393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77264695} λ = 0.77264695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.36894570542393))-π/2
    2×atan(0.0935793344726485)-π/2
    2×0.0933075998708951-π/2
    0.18661519974179-1.57079632675     		φ = -1.38418113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77264695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.269409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38418113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.307737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81654 KachelY 114954 0.77264695 -1.38418113 44.269409 -79.307737
    Oben rechts KachelX + 1 81655 KachelY 114954 0.77269488 -1.38418113 44.272155 -79.307737
    Unten links KachelX 81654 KachelY + 1 114955 0.77264695 -1.38419002 44.269409 -79.308246
    Unten rechts KachelX + 1 81655 KachelY + 1 114955 0.77269488 -1.38419002 44.272155 -79.308246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38418113--1.38419002) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dl = 56.6381899995421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38418113--1.38419002) × R
    8.88999999992812e-06 × 6371000     		dr = 56.6381899995421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77264695-0.77269488) × cos(-1.38418113) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185533928373939 × 6371000     		do = 56.6550170020442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77264695-0.77269488) × cos(-1.38419002) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.185525192716044 × 6371000     		du = 56.6523494638158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38418113)-sin(-1.38419002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.185533928373939-0.185525192716044)×R²
    abs(0.77269488-0.77264695)×8.73565789555331e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.73565789555331e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.73565789555331e-06×40589641000000     		ar = 3208.76207512115m²