Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81653 / 20275
↖ ↑ ↗
← N 76.968387°
E 44.266663°		 ← 68.87 m → N 76.968387°
E 44.269409°		 →
↑
68.87 m
↓
↑
68.87 m
↓
N 76.967768°
E 44.266663°		 ← 68.87 m →
4 743 m²		 N 76.967768°
E 44.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622966766357422 y=0.154689788818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622966766357422 × 217)
    floor (0.622966766357422 × 131072)
    floor (81653.5)     		tx = 81653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.154689788818359 × 217)
    floor (0.154689788818359 × 131072)
    floor (20275.5)     		ty = 20275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81653 / 20275 ti = "17/81653/20275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81653/20275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81653 ÷ 217
    81653 ÷ 131072     		x = 0.622962951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20275 ÷ 217
    20275 ÷ 131072     		y = 0.154685974121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622962951660156 × 2 - 1) × π
    0.245925903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77259901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.154685974121094 × 2 - 1) × π
    0.690628051757812 × 3.1415926535     		Φ = 2.16967201370336
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77259901} λ = 0.77259901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16967201370336))-π/2
    2×atan(8.75541191462815)-π/2
    2×1.45707405196381-π/2
    2.91414810392762-1.57079632675     		φ = 1.34335178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77259901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.266663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34335178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.968387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81653 KachelY 20275 0.77259901 1.34335178 44.266663 76.968387
    Oben rechts KachelX + 1 81654 KachelY 20275 0.77264695 1.34335178 44.269409 76.968387
    Unten links KachelX 81653 KachelY + 1 20276 0.77259901 1.34334097 44.266663 76.967768
    Unten rechts KachelX + 1 81654 KachelY + 1 20276 0.77264695 1.34334097 44.269409 76.967768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34335178-1.34334097) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dl = 68.8705100001768m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34335178-1.34334097) × R
    1.08100000000277e-05 × 6371000     		dr = 68.8705100001768m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77259901-0.77264695) × cos(1.34335178) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225488622948368 × 6371000     		do = 68.8700295257007m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77259901-0.77264695) × cos(1.34334097) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.225499154532303 × 6371000     		du = 68.8732461425173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34335178)-sin(1.34334097))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.225488622948368-0.225499154532303)×R²
    abs(0.77264695-0.77259901)×1.05315839346032e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.05315839346032e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.05315839346032e-05×40589641000000     		ar = 4743.22482233012m²