Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81653 / 17308
↖ ↑ ↗
← N 78.684026°
E 44.266663°		 ← 59.93 m → N 78.684026°
E 44.269409°		 →
↑
59.95 m
↓
↑
59.95 m
↓
N 78.683487°
E 44.266663°		 ← 59.93 m →
3 593 m²		 N 78.683487°
E 44.269409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622966766357422 y=0.132053375244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622966766357422 × 217)
    floor (0.622966766357422 × 131072)
    floor (81653.5)     		tx = 81653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.132053375244141 × 217)
    floor (0.132053375244141 × 131072)
    floor (17308.5)     		ty = 17308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81653 / 17308 ti = "17/81653/17308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81653/17308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81653 ÷ 217
    81653 ÷ 131072     		x = 0.622962951660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17308 ÷ 217
    17308 ÷ 131072     		y = 0.132049560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622962951660156 × 2 - 1) × π
    0.245925903320312 × 3.1415926535     		Λ = 0.77259901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.132049560546875 × 2 - 1) × π
    0.73590087890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.31190079487607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77259901} λ = 0.77259901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.31190079487607))-π/2
    2×atan(10.0935922808686)-π/2
    2×1.4720458222146-π/2
    2.94409164442921-1.57079632675     		φ = 1.37329532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77259901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.266663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37329532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.684026°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81653 KachelY 17308 0.77259901 1.37329532 44.266663 78.684026
    Oben rechts KachelX + 1 81654 KachelY 17308 0.77264695 1.37329532 44.269409 78.684026
    Unten links KachelX 81653 KachelY + 1 17309 0.77259901 1.37328591 44.266663 78.683487
    Unten rechts KachelX + 1 81654 KachelY + 1 17309 0.77264695 1.37328591 44.269409 78.683487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37329532-1.37328591) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dl = 59.9511099992129m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37329532-1.37328591) × R
    9.40999999987646e-06 × 6371000     		dr = 59.9511099992129m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77259901-0.77264695) × cos(1.37329532) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196219533284272 × 6371000     		do = 59.930496155903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77259901-0.77264695) × cos(1.37328591) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.196228760345094 × 6371000     		du = 59.9333143377825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37329532)-sin(1.37328591))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.196219533284272-0.196228760345094)×R²
    abs(0.77264695-0.77259901)×9.22706082187585e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.22706082187585e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.22706082187585e-06×40589641000000     		ar = 3592.98424395599m²