Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81652 / 115270
↖ ↑ ↗
← S 79.467573°
E 44.263916°		 ← 55.83 m → S 79.467573°
E 44.266663°		 →
↑
55.81 m
↓
↑
55.81 m
↓
S 79.468074°
E 44.263916°		 ← 55.83 m →
3 116 m²		 S 79.468074°
E 44.266663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81652 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115270 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622959136962891 y=0.879444122314453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622959136962891 × 217)
    floor (0.622959136962891 × 131072)
    floor (81652.5)     		tx = 81652
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879444122314453 × 217)
    floor (0.879444122314453 × 131072)
    floor (115270.5)     		ty = 115270
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81652 / 115270 ti = "17/81652/115270"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81652/115270.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81652 ÷ 217
    81652 ÷ 131072     		x = 0.622955322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115270 ÷ 217
    115270 ÷ 131072     		y = 0.879440307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622955322265625 × 2 - 1) × π
    0.24591064453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77255107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879440307617188 × 2 - 1) × π
    -0.758880615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.38409376570387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77255107} λ = 0.77255107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38409376570387))-π/2
    2×atan(0.0921724715968221)-π/2
    2×0.0919127689359595-π/2
    0.183825537871919-1.57079632675     		φ = -1.38697079
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77255107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.263916°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38697079 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.467573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81652 KachelY 115270 0.77255107 -1.38697079 44.263916 -79.467573
    Oben rechts KachelX + 1 81653 KachelY 115270 0.77259901 -1.38697079 44.266663 -79.467573
    Unten links KachelX 81652 KachelY + 1 115271 0.77255107 -1.38697955 44.263916 -79.468074
    Unten rechts KachelX + 1 81653 KachelY + 1 115271 0.77259901 -1.38697955 44.266663 -79.468074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38697079--1.38697955) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dl = 55.8099600003317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38697079--1.38697955) × R
    8.76000000005206e-06 × 6371000     		dr = 55.8099600003317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77255107-0.77259901) × cos(-1.38697079) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182791984469527 × 6371000     		do = 55.829377122637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77255107-0.77259901) × cos(-1.38697955) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1827833720544 × 6371000     		du = 55.8267466693738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38697079)-sin(-1.38697955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182791984469527-0.1827833720544)×R²
    abs(0.77259901-0.77255107)×8.61241512670197e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.61241512670197e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.61241512670197e-06×40589641000000     		ar = 3115.76190144636m²