Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81651 / 19738
↖ ↑ ↗
← N 77.296826°
E 44.261170°		 ← 67.15 m → N 77.296826°
E 44.263916°		 →
↑
67.15 m
↓
↑
67.15 m
↓
N 77.296222°
E 44.261170°		 ← 67.15 m →
4 509 m²		 N 77.296222°
E 44.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19738 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622951507568359 y=0.150592803955078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622951507568359 × 217)
    floor (0.622951507568359 × 131072)
    floor (81651.5)     		tx = 81651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150592803955078 × 217)
    floor (0.150592803955078 × 131072)
    floor (19738.5)     		ty = 19738
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81651 / 19738 ti = "17/81651/19738"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81651/19738.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81651 ÷ 217
    81651 ÷ 131072     		x = 0.622947692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19738 ÷ 217
    19738 ÷ 131072     		y = 0.150588989257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622947692871094 × 2 - 1) × π
    0.245895385742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77250314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150588989257812 × 2 - 1) × π
    0.698822021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.19541412879933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77250314} λ = 0.77250314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19541412879933))-π/2
    2×atan(8.98372070402838)-π/2
    2×1.45994022226874-π/2
    2.91988044453748-1.57079632675     		φ = 1.34908412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77250314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.261170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34908412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.296826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81651 KachelY 19738 0.77250314 1.34908412 44.261170 77.296826
    Oben rechts KachelX + 1 81652 KachelY 19738 0.77255107 1.34908412 44.263916 77.296826
    Unten links KachelX 81651 KachelY + 1 19739 0.77250314 1.34907358 44.261170 77.296222
    Unten rechts KachelX + 1 81652 KachelY + 1 19739 0.77255107 1.34907358 44.263916 77.296222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34908412-1.34907358) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dl = 67.1503400007285m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34908412-1.34907358) × R
    1.05400000001143e-05 × 6371000     		dr = 67.1503400007285m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77250314-0.77255107) × cos(1.34908412) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219900240621711 × 6371000     		do = 67.1491838737753m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77250314-0.77255107) × cos(1.34907358) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.219910522615221 × 6371000     		du = 67.1523236041861m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34908412)-sin(1.34907358))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219900240621711-0.219910522615221)×R²
    abs(0.77255107-0.77250314)×1.02819935101084e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.02819935101084e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.02819935101084e-05×40589641000000     		ar = 4509.19594492286m²