Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81651 / 115219
↖ ↑ ↗
← S 79.441937°
E 44.261170°		 ← 55.95 m → S 79.441937°
E 44.263916°		 →
↑
56 m
↓
↑
56 m
↓
S 79.442440°
E 44.261170°		 ← 55.95 m →
3 133 m²		 S 79.442440°
E 44.263916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115219 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622951507568359 y=0.879055023193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622951507568359 × 217)
    floor (0.622951507568359 × 131072)
    floor (81651.5)     		tx = 81651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879055023193359 × 217)
    floor (0.879055023193359 × 131072)
    floor (115219.5)     		ty = 115219
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81651 / 115219 ti = "17/81651/115219"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81651/115219.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81651 ÷ 217
    81651 ÷ 131072     		x = 0.622947692871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115219 ÷ 217
    115219 ÷ 131072     		y = 0.879051208496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622947692871094 × 2 - 1) × π
    0.245895385742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.77250314
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879051208496094 × 2 - 1) × π
    -0.758102416992188 × 3.1415926535     		Φ = -2.38164898382325
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77250314} λ = 0.77250314}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38164898382325))-π/2
    2×atan(0.0923980888654039)-π/2
    2×0.0921364809439889-π/2
    0.184272961887978-1.57079632675     		φ = -1.38652336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77250314} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.261170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38652336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.441937°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81651 KachelY 115219 0.77250314 -1.38652336 44.261170 -79.441937
    Oben rechts KachelX + 1 81652 KachelY 115219 0.77255107 -1.38652336 44.263916 -79.441937
    Unten links KachelX 81651 KachelY + 1 115220 0.77250314 -1.38653215 44.261170 -79.442440
    Unten rechts KachelX + 1 81652 KachelY + 1 115220 0.77255107 -1.38653215 44.263916 -79.442440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38652336--1.38653215) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dl = 56.0010900005847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38652336--1.38653215) × R
    8.79000000009178e-06 × 6371000     		dr = 56.0010900005847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77250314-0.77255107) × cos(-1.38652336) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183231857683312 × 6371000     		do = 55.9520520228815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77250314-0.77255107) × cos(-1.38653215) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.183223216493341 × 6371000     		du = 55.9494133315704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38652336)-sin(-1.38653215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183231857683312-0.183223216493341)×R²
    abs(0.77255107-0.77250314)×8.64118997082053e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.64118997082053e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.64118997082053e-06×40589641000000     		ar = 3133.30201619456m²