Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81650 / 115231
↖ ↑ ↗
← S 79.447975°
E 44.258423°		 ← 55.93 m → S 79.447975°
E 44.261170°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.448478°
E 44.258423°		 ← 55.93 m →
3 129 m²		 S 79.448478°
E 44.261170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622943878173828 y=0.879146575927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622943878173828 × 217)
    floor (0.622943878173828 × 131072)
    floor (81650.5)     		tx = 81650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879146575927734 × 217)
    floor (0.879146575927734 × 131072)
    floor (115231.5)     		ty = 115231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81650 / 115231 ti = "17/81650/115231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81650/115231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81650 ÷ 217
    81650 ÷ 131072     		x = 0.622940063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115231 ÷ 217
    115231 ÷ 131072     		y = 0.879142761230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622940063476562 × 2 - 1) × π
    0.245880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77245520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879142761230469 × 2 - 1) × π
    -0.758285522460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.38222422661869
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77245520} λ = 0.77245520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38222422661869))-π/2
    2×atan(0.0923449528150019)-π/2
    2×0.0920837944410724-π/2
    0.184167588882145-1.57079632675     		φ = -1.38662874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77245520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.258423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38662874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.447975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81650 KachelY 115231 0.77245520 -1.38662874 44.258423 -79.447975
    Oben rechts KachelX + 1 81651 KachelY 115231 0.77250314 -1.38662874 44.261170 -79.447975
    Unten links KachelX 81650 KachelY + 1 115232 0.77245520 -1.38663752 44.258423 -79.448478
    Unten rechts KachelX + 1 81651 KachelY + 1 115232 0.77250314 -1.38663752 44.261170 -79.448478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38662874--1.38663752) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38662874--1.38663752) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77245520-0.77250314) × cos(-1.38662874) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.18312826077838 × 6371000     		do = 55.932084563113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77245520-0.77250314) × cos(-1.38663752) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183119629249642 × 6371000     		du = 55.9294482720608m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38662874)-sin(-1.38663752))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.18312826077838-0.183119629249642)×R²
    abs(0.77250314-0.77245520)×8.63152873836759e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63152873836759e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63152873836759e-06×40589641000000     		ar = 3128.62053477739m²