Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81650 / 115217
↖ ↑ ↗
← S 79.440931°
E 44.258423°		 ← 55.97 m → S 79.440931°
E 44.261170°		 →
↑
55.94 m
↓
↑
55.94 m
↓
S 79.441434°
E 44.258423°		 ← 55.97 m →
3 131 m²		 S 79.441434°
E 44.261170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115217 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622943878173828 y=0.879039764404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622943878173828 × 217)
    floor (0.622943878173828 × 131072)
    floor (81650.5)     		tx = 81650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879039764404297 × 217)
    floor (0.879039764404297 × 131072)
    floor (115217.5)     		ty = 115217
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81650 / 115217 ti = "17/81650/115217"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81650/115217.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81650 ÷ 217
    81650 ÷ 131072     		x = 0.622940063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115217 ÷ 217
    115217 ÷ 131072     		y = 0.879035949707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622940063476562 × 2 - 1) × π
    0.245880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.77245520
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879035949707031 × 2 - 1) × π
    -0.758071899414062 × 3.1415926535     		Φ = -2.38155311002401
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77245520} λ = 0.77245520}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38155311002401))-π/2
    2×atan(0.0924069478458912)-π/2
    2×0.0921452649248675-π/2
    0.184290529849735-1.57079632675     		φ = -1.38650580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77245520} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.258423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38650580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.440931°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81650 KachelY 115217 0.77245520 -1.38650580 44.258423 -79.440931
    Oben rechts KachelX + 1 81651 KachelY 115217 0.77250314 -1.38650580 44.261170 -79.440931
    Unten links KachelX 81650 KachelY + 1 115218 0.77245520 -1.38651458 44.258423 -79.441434
    Unten rechts KachelX + 1 81651 KachelY + 1 115218 0.77250314 -1.38651458 44.261170 -79.441434
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38650580--1.38651458) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dl = 55.9373800009719m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38650580--1.38651458) × R
    8.78000000015255e-06 × 6371000     		dr = 55.9373800009719m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77245520-0.77250314) × cos(-1.38650580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183249120359451 × 6371000     		do = 55.9689981900977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77245520-0.77250314) × cos(-1.38651458) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183240489028444 × 6371000     		du = 55.9663619594378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38650580)-sin(-1.38651458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183249120359451-0.183240489028444)×R²
    abs(0.77250314-0.77245520)×8.63133100675872e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.63133100675872e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.63133100675872e-06×40589641000000     		ar = 3130.68538817954m²