Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8165 / 7813
↖ ↑ ↗
← N 79.555569°
W135.148315°		 ← 110.72 m → N 79.555569°
W135.142822°		 →
↑
110.73 m
↓
↑
110.73 m
↓
N 79.554573°
W135.148315°		 ← 110.74 m →
12 261 m²		 N 79.554573°
W135.142822°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.124595642089844 y=0.119224548339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.124595642089844 × 216)
    floor (0.124595642089844 × 65536)
    floor (8165.5)     		tx = 8165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.119224548339844 × 216)
    floor (0.119224548339844 × 65536)
    floor (7813.5)     		ty = 7813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8165 / 7813 ti = "16/8165/7813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8165/7813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8165 ÷ 216
    8165 ÷ 65536     		x = 0.124588012695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7813 ÷ 216
    7813 ÷ 65536     		y = 0.119216918945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.124588012695312 × 2 - 1) × π
    -0.750823974609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.35878308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.119216918945312 × 2 - 1) × π
    0.761566162109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.392530660037
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.35878308} λ = -2.35878308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.392530660037))-π/2
    2×atan(10.9411472618439)-π/2
    2×1.47965146668133-π/2
    2.95930293336266-1.57079632675     		φ = 1.38850661
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.35878308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -135.148315°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38850661 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.555569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8165 KachelY 7813 -2.35878308 1.38850661 -135.148315 79.555569
    Oben rechts KachelX + 1 8166 KachelY 7813 -2.35868721 1.38850661 -135.142822 79.555569
    Unten links KachelX 8165 KachelY + 1 7814 -2.35878308 1.38848923 -135.148315 79.554573
    Unten rechts KachelX + 1 8166 KachelY + 1 7814 -2.35868721 1.38848923 -135.142822 79.554573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38850661-1.38848923) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dl = 110.727980000426m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38850661-1.38848923) × R
    1.73800000000668e-05 × 6371000     		dr = 110.727980000426m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.35878308--2.35868721) × cos(1.38850661) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181281825576136 × 6371000     		do = 110.724721985175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.35878308--2.35868721) × cos(1.38848923) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.181298917582788 × 6371000     		du = 110.735161573802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38850661)-sin(1.38848923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.181281825576136-0.181298917582788)×R²
    abs(-2.35868721--2.35878308)×1.70920066512037e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.70920066512037e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.70920066512037e-05×40589641000000     		ar = 12260.9027790993m²