Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8165 / 4033
↖ ↑ ↗
← N 67.058870°
W  0.593262°		 ← 952.33 m → N 67.058870°
W  0.571289°		 →
↑
952.53 m
↓
↑
952.53 m
↓
N 67.050304°
W  0.593262°		 ← 952.67 m →
907 280 m²		 N 67.050304°
W  0.571289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4033 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.498382568359375 y=0.246185302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.498382568359375 × 214)
    floor (0.498382568359375 × 16384)
    floor (8165.5)     		tx = 8165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.246185302734375 × 214)
    floor (0.246185302734375 × 16384)
    floor (4033.5)     		ty = 4033
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8165 / 4033 ti = "14/8165/4033"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8165/4033.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8165 ÷ 214
    8165 ÷ 16384     		x = 0.49835205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4033 ÷ 214
    4033 ÷ 16384     		y = 0.24615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.49835205078125 × 2 - 1) × π
    -0.0032958984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.01035437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24615478515625 × 2 - 1) × π
    0.5076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.59495652415851
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.01035437} λ = -0.01035437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.59495652415851))-π/2
    2×atan(4.92811481352314)-π/2
    2×1.37059720264304-π/2
    2.74119440528607-1.57079632675     		φ = 1.17039808
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.01035437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -0.593262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17039808 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.058870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8165 KachelY 4033 -0.01035437 1.17039808 -0.593262 67.058870
    Oben rechts KachelX + 1 8166 KachelY 4033 -0.00997088 1.17039808 -0.571289 67.058870
    Unten links KachelX 8165 KachelY + 1 4034 -0.01035437 1.17024857 -0.593262 67.050304
    Unten rechts KachelX + 1 8166 KachelY + 1 4034 -0.00997088 1.17024857 -0.571289 67.050304
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17039808-1.17024857) × R
    0.000149509999999964 × 6371000     		dl = 952.52820999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17039808-1.17024857) × R
    0.000149509999999964 × 6371000     		dr = 952.52820999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.01035437--0.00997088) × cos(1.17039808) × R
    0.00038349 × 0.389785121006747 × 6371000     		do = 952.328772565624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.01035437--0.00997088) × cos(1.17024857) × R
    0.00038349 × 0.389922801281348 × 6371000     		du = 952.665155048821m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17039808)-sin(1.17024857))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389785121006747-0.389922801281348)×R²
    abs(-0.00997088--0.01035437)×0.000137680274601037×R²
    0.00038349×0.000137680274601037×6371000²
    0.00038349×0.000137680274601037×40589641000000     		ar = 907280.229655647m²