Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81649 / 17073
↖ ↑ ↗
← N 78.809978°
E 44.255676°		 ← 59.27 m → N 78.809978°
E 44.258423°		 →
↑
59.25 m
↓
↑
59.25 m
↓
N 78.809445°
E 44.255676°		 ← 59.27 m →
3 512 m²		 N 78.809445°
E 44.258423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622936248779297 y=0.130260467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622936248779297 × 217)
    floor (0.622936248779297 × 131072)
    floor (81649.5)     		tx = 81649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130260467529297 × 217)
    floor (0.130260467529297 × 131072)
    floor (17073.5)     		ty = 17073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81649 / 17073 ti = "17/81649/17073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81649/17073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81649 ÷ 217
    81649 ÷ 131072     		x = 0.622932434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17073 ÷ 217
    17073 ÷ 131072     		y = 0.130256652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622932434082031 × 2 - 1) × π
    0.245864868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77240726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.130256652832031 × 2 - 1) × π
    0.739486694335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.32316596628678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77240726} λ = 0.77240726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32316596628678))-π/2
    2×atan(10.2079411988672)-π/2
    2×1.47314496284648-π/2
    2.94628992569297-1.57079632675     		φ = 1.37549360
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77240726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.255676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37549360 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.809978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81649 KachelY 17073 0.77240726 1.37549360 44.255676 78.809978
    Oben rechts KachelX + 1 81650 KachelY 17073 0.77245520 1.37549360 44.258423 78.809978
    Unten links KachelX 81649 KachelY + 1 17074 0.77240726 1.37548430 44.255676 78.809445
    Unten rechts KachelX + 1 81650 KachelY + 1 17074 0.77245520 1.37548430 44.258423 78.809445
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37549360-1.37548430) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dl = 59.2502999992281m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37549360-1.37548430) × R
    9.29999999987885e-06 × 6371000     		dr = 59.2502999992281m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77240726-0.77245520) × cos(1.37549360) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.194063515495806 × 6371000     		do = 59.2719928272693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77240726-0.77245520) × cos(1.37548430) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.1940726386848 × 6371000     		du = 59.2747792840189m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37549360)-sin(1.37548430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.194063515495806-0.1940726386848)×R²
    abs(0.77245520-0.77240726)×9.12318899382036e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.12318899382036e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.12318899382036e-06×40589641000000     		ar = 3511.96590584897m²