Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 81649 / 115245
↖ ↑ ↗
← S 79.455014°
E 44.255676°		 ← 55.90 m → S 79.455014°
E 44.258423°		 →
↑
55.87 m
↓
↑
55.87 m
↓
S 79.455516°
E 44.255676°		 ← 55.89 m →
3 123 m²		 S 79.455516°
E 44.258423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 81649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 115245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.622936248779297 y=0.879253387451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.622936248779297 × 217)
    floor (0.622936248779297 × 131072)
    floor (81649.5)     		tx = 81649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.879253387451172 × 217)
    floor (0.879253387451172 × 131072)
    floor (115245.5)     		ty = 115245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 81649 / 115245 ti = "17/81649/115245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/81649/115245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 81649 ÷ 217
    81649 ÷ 131072     		x = 0.622932434082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 115245 ÷ 217
    115245 ÷ 131072     		y = 0.879249572753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.622932434082031 × 2 - 1) × π
    0.245864868164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.77240726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.879249572753906 × 2 - 1) × π
    -0.758499145507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.38289534321337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.77240726} λ = 0.77240726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.38289534321337))-π/2
    2×atan(0.0922829993760486)-π/2
    2×0.0920223645001201-π/2
    0.18404472900024-1.57079632675     		φ = -1.38675160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.77240726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.255676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.38675160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -79.455014°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 81649 KachelY 115245 0.77240726 -1.38675160 44.255676 -79.455014
    Oben rechts KachelX + 1 81650 KachelY 115245 0.77245520 -1.38675160 44.258423 -79.455014
    Unten links KachelX 81649 KachelY + 1 115246 0.77240726 -1.38676037 44.255676 -79.455516
    Unten rechts KachelX + 1 81650 KachelY + 1 115246 0.77245520 -1.38676037 44.258423 -79.455516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.38675160--1.38676037) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dl = 55.8736699999445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.38675160--1.38676037) × R
    8.76999999999128e-06 × 6371000     		dr = 55.8736699999445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.77240726-0.77245520) × cos(-1.38675160) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.183007477078386 × 6371000     		do = 55.8951941121625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.77240726-0.77245520) × cos(-1.38676037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.182998855183306 × 6371000     		du = 55.8925607634776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.38675160)-sin(-1.38676037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.183007477078386-0.182998855183306)×R²
    abs(0.77245520-0.77240726)×8.62189507960798e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.62189507960798e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.62189507960798e-06×40589641000000     		ar = 3122.99606308154m²